Parole

Analyse, modèles et simulations

par Françoise Balibar  Du même auteur

      Pierre-Noël Giraud  Du même auteur

      Pierre-Louis Lions  Du même auteur

[Avertissement: les tutoiements n’ont pas été supprimés. Pierre-Louis Lions tutoie Pierre-Noël Giraud (et réciproquement) ; lequel tutoie Françoise Balibar (et réciproquement). Pierre-Louis-Lions et Françoise Balibar ne se tutoient pas.]

FRANÇOISE BALIBAR : Votre spécialité, au sein des mathématiques, ce sont les mathématiques appliquées. Est-ce la même chose que ce que Poincaré appelait « la physique mathématique », engendrée selon lui par la Mécanique céleste à la fin du XVIIIe siècle et dont il disait que « l’enfant ressemblait à sa mère d’une manière frappante » ?

PIERRE-LOUIS LIONS : En France, on n’a pas l’habitude de ranger la mécanique dans la physique. C’est pourquoi, quand on parle d’élasticité non linéaire, de mécanique des fluides, on les pense en général comme relevant des mathématiques appliquées. Pour ma part, je suis prêt à ranger ces domaines dans la physique et donc à parler à leur propos de physique mathématique. Ce qui m’empêche d’identifier « physique mathématique » et « mathématiques appliquées », c’est que le champ d’application des mathématiques appliquées n’est pas restreint à la physique. Exemple : le traitement d’images ; ce n’est pas de la physique, c’est de l’informatique ; on cherche des modèles à base d’équations comme je les aime ; elles sont de la même nature que celles que l’on va rencontrer en finance – toujours pas de la physique – ou dans le contrôle optimal de systèmes dynamiques – toujours pas de la physique. On a une classe très générale d’équations qui contient comme cas très particulier les équations de la chaleur de la physique, mais qui va bien au-delà, car elle contient de nouveaux modèles et de nouvelles équations apparus à partir du XIXe siècle et surtout au XXe siècle, voire même dans la deuxième moitié du XXe siècle.

F. BALIBAR : Vous dites que cette classe d’équations contient les équations de la chaleur, comme cas particulier ; contient-elle aussi les équations de l’hydrodynamique ?

P.-L. LIONS : Non ! Parce que la caractéristique commune des équations telles que je les aime est ce qu’on appelle un « principe de comparaison ». Dans le cas de la chaleur : plus on chauffe, plus la température monte. En finance, prenons le cas d’un contrat d’assurance : mieux il vous garantit, plus la prime d’assurance est élevée. En traitement d’images (à supposer, pour simplifier, qu’il s’agisse d’images en noir et blanc), si l’on part d’une image qui est partout plus noire qu’une autre, on veut que le résultat après traitement préserve cette comparaison. Dans chacun de ces cas, vaut un principe de comparaison : on a affaire à des équations scalaires – très non linéaires, mais scalaires. Ce qui n’est pas le cas de l’hydrodynamique où l’on traite de la vitesse (qui n’est pas un scalaire) d’un fluide.

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