Cursus

Un peu de Bourbaki ne ferait pas de mal

par Françoise Balibar  Du même auteur

On se souvient de la catastrophe que fut l’introduction dès l’école primaire des mathématiques dites « modernes » dans les années soixante-dix du siècle dernier. Cette « réforme » visait à améliorer les performances scientifiques de la population des pays occidentaux – argument particulièrement sensible aux États-Unis où l’on avait tiré du lancement du spoutnik soviétique, vécu comme un Pearl Harbor scientifique, la conclusion qu’un pays technologiquement avancé est un pays où la formation mathématique de la population en général est d’un haut niveau.

En France, berceau de l’école Bourbaki, dont les thèses avaient servi de caution théorique à la « réforme » de l’enseignement des mathématiques, l’introduction des « maths modernes », abondamment critiquée par le corps enseignant, les parents, les physiciens et les ingénieurs, fut abandonnée au milieu des années quatre-vingt. Aujourd’hui, trente ans après, l’évolution du monde tel qu’il va invite à se demander si le bâton n’a pas été trop tordu dans l’autre sens et si un peu de Bourbaki ne serait pas bienvenu à l’école et au collège.

C’est à propos du concept de nombre et de l’usage qui en est fait que l’on peut se demander si l’école joue bien le rôle d’apprentissage de l’esprit critique qui est supposé être le sien et s’il ne serait pas nécessaire de remettre à l’ordre du jour certains thèmes de la « réforme » avortée il y a trente ans.

On sait que l’une des thèses du bourbakisme concerne précisément le statut des nombres. Contrairement à ce que l’on pense spontanément, les nombres ne nous ont pas été « donnés », armés de la structure mathématique qui est la leur. Car compter n’est pas calculer. Si le dénombrement peut bien être considéré comme la forme première et concrète de la notion mathématique de nombre (entier « naturel »), en revanche la structure permettant le calcul sur des nombres ne nous a pas été imposée, donnée, par « la nature » ; elle résulte d’un effort d’abstraction de l’esprit humain conduisant à la définition des deux opérations, l’addition et la multiplication, dont les règles permettent à leur tour de définir les nombres comme ce qui obéit à ces règles de calcul[1]. Comme l’écrit Jean Dieudonné dans Éléments d’histoire des mathématiques[2], publié sous le nom de Nicolas Bourbaki, mais dont il est le principal rédacteur : « Il a été assez difficile de se libérer de l’impression que les objets mathématiques nous sont “donnés” avec leur structure : seule une assez longue pratique… a pu familiariser les mathématiciens modernes avec l’idée [que sur un même ensemble plusieurs structures sont possibles[3]]… Avec cette dissociation [entre les objets et leur structure] s’est finalement réalisé le passage à la définition générale des structures. » Le mathématicien « moderne » n’accepte pas de se limiter aux objets que semble lui imposer l’origine concrète des mathématiques ; il crée ses propres objets en définissant à leur propos une structure, c’est-à-dire, dans le cas des nombres, un ensemble de règles de calcul ; dans un premier temps (au début du XIXe siècle), on s’est contenté de reprendre les règles de l’algèbre usuelle, fondée sur le jeu combiné des deux opérations arithmétiques : l’addition et la multiplication (cette structure est donnée ici en note[4]).

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