Appliquer les mathématiques

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Appliquer les mathématiques

parJean-Michel Salanskisdu même auteur

Jean Michel Salanskis, professeur de philosophie à l’université Paris Ouest Nanterre La Défense. Dernier ouvrage paru : Le Monde du computationnel, Paris, Encre marine, 2011

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Pour certains esprits, c’est déjà une vue fausse des choses que de parler d’application des mathématiques. Le faire, cela revient à concéder, en effet, qu’il existe un état originaire « stratosphérique », à distance de toute réalité, des mathématiques : en telle sorte que ce serait seulement ensuite, et depuis cet état fabuleux, qu’elles en viendraient à s’appliquer. Les esprits en question estiment que ce tableau est purement fantasmagorique. Les mathématiques, estiment-ils, font partie de la connaissance. La connaissance tire son statut du rapport à une réalité. Donc les mathématiques sont depuis toujours auprès d’une réalité, à laquelle elles s’appliquent. Toute mathématique, à leurs yeux, est d’origine mathématique appliquée en somme.

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En dépit de cette résistance vertueuse, la « fantasmagorie » évoquée à l’instant est plausible, elle est à vrai dire conforme à ce que chacun expérimente, quant à une mathématique ayant connu le développement interne et ayant pris la posture sociale que nous pouvons constater. De fait, les mathématiques existent dans l’espace académique comme un corps immense de théories sans relation immédiate ou évidente avec des choses que l’on puisse rencontrer dans le réel. De, fait un mathématicien peut se rattacher au groupe social des mathématiciens sans se soucier d’une retombée pratique quelconque de son savoir. De fait, on distingue, dans le champ académique lui-même, des composantes que l’on appelle mathématiques appliquées (et qui se trouvent, du fait même de cette désignation, dévaluées par rapport aux mathématiques dites pures, au moins dans un certain cercle dominé par la figure de ces dernières).

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Certes, je devrais peut-être tenir compte, ici, de ce que soutenait mon regretté ami Jacques Harthong [1][1] Jacques Harthong (19482005), mathématicien et physicien.... :que la vision offerte à l’instant de la « communauté des mathématiciens » était elle-même biaisée et fallacieuse. 90% de ceux qui grattent concrètement des mathématiques, disait-il, qui se posent et résolvent des problèmes relevant des mathématiques, le font dans le contexte d’une application, dans des laboratoires qui ne sont même pas forcément des laboratoires de mathématiques, mais plutôt des laboratoires de neurosciences, d’économie, de physique ou d’océanographie. Je comprends la volonté qui était la sienne de rétablir une juste image des choses, mais les faits qu’il objecte n’y peuvent rien. Même les mathématiciens ainsi concrètement engagés dans l’œuvre de l’application ont appris les mathématiques en tant que pures, et ensuite ont trouvé un lieu et un métier de leur application. La vision des mathématiques pures comme dominant le cercle des mathématiques fait à vrai dire partie de notre structure de pensée, du langage partagé de notre appréhension des mathématiques. Elle affecte, pour commencer, tout le système de leur enseignement, de la base au sommet.

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Concédons donc, pour commencer, que les mathématiques ont réussi à se persuader elles-mêmes qu’elles n’étaient pas directement accrochées à une réalité, à en convaincre le monde et à s’organiser socialement (notamment du point de vue de la transmission) d’une manière qui correspond à cette pensée. Dans ces conditions, qu’elles s’appliquent ne va pas de soi : il y a bien là un moment second, une exploitation seconde d’elles, qu’il peut s’agir de décrire et de comprendre.

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Prenant par suite à bras le corps le problème de l’application, tout ce que je pourrai faire, je l’annonce d’emblée, c’est distinguer quatre sortes d’applications. La simple possibilité de cette distinction complexe prouve, à mes yeux, qu’il y a dans l’application des mathématiques une affaire épistémologique substantielle.

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Mes quatre sortes d’application sont :

  1. l’application numérique triviale ;

  2. l’application des mathématiques comme outil de maîtrise de la complexité ;

  3. l’application des mathématiques comme langage de l’imagination de monde ;

  4. l’application des mathématiques à elles-mêmes.

1 - L’application numérique triviale

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Il y a une manière d’appliquer les mathématiques que tout le monde reconnaît et comprend : c’est celle qui consiste à associer à toute collection d’objets son nombre d’éléments, et. profiter de la discipline « arithmétique » pour effectuer, sur les nombres entiers obtenus, toutes les opérations et les raisonnements possibles. Par exemple, à calculer le prix payé si l’on achète n objets coûtant chacun p euros.

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Cette application est comprise et admise de tous, et elle est regardée par certains philosophes comme le fond de toute application. Les mathématiques, du moins c’est ce qu’on en est venu à penser à l’époque contemporaine, ne sont pas autre chose qu’une immense complication de l’arithmétique. Et toutes les applications des mathématiques, passant par des opérations de mesure, se ramèneraient en dernière instance à des calculs sur des nombres décimaux, transférables au sein de l’arithmétique.

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Il faut, pour pénétrer sur le plan philosophique jusqu’au bout cette « application numérique triviale », comprendre en quel sens et comment, dans un jugement comme « ma commode a 5 tiroirs » s’actualise une application des mathématiques.

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Des réponses à cette question sont disponibles, elles s’associent aux diverses tendances traditionnelles déterminées par le problème du fondement des mathématiques au début du XXe siècle.

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La réponse logiciste, exprimée par la voix des deux pères fondateurs de la philosophie analytique, Frege et Russell, garde une importance prépondérante sur le plan philosophique, même si elle satisfait très peu la perception spontanée de sa situation rationnelle par le mathématicien. Elle consiste à dire que les nombres entiers ne sont pas autre chose que les classes d’équinuméricité des concepts, et que les théorèmes fondamentaux de l’arithmétique se déduisent d’une telle définition : l’information qu’il y a dans les énoncés de l’arithmétique ne serait donc pas autre chose qu’une information logique, extraite a priori – au sens de l’a priori logique – de nos jugements quantitatifs.

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Donc, pour le redire de manière ramassée, l’énoncé « Ma commode a 5 tiroirs » n’est pas le miracle de l’investissement dans le réel de l’entité idéale 5. Il rattache simplement le concept « tiroir de ma commode » à la classe des concepts qui lui sont équinumériques (c’est-à-dire tels que nous puissions définir une correspondance biunivoque entre leur extension et la classe des tiroirs de ma commode). Ce qu’on appelle ici « application des mathématiques » est ainsi, à y mieux regarder, réflexion de l’enregistrement empirique des choses vers l’organisation logique de ces choses, commentaire logique organisationnel si l’on veut : en nombrant, je resitue mon concept dans une totalité de concepts auprès desquels son pouvoir de subsomption se reflète logiquement. Cette vision va de pair, chez Frege, avec le statut proprement philosophique de l’objet : au lieu que les nombres entiers soient des objets mathématiques, dont la mise en rapport avec les objets mondains pose le problème de l’application, les nombres entiers sont plutôt des objets logiques et métaphysiques, ne faisant pas autre chose que commenter indirectement la prise du réel dans les structures logiques.

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En second lieu, nous avons, sur l’application numérique triviale des mathématiques, le point de vue constructiviste-intuitionniste hérité de Brouwer. Pour celui-ci, 5 désigne un « objet mathématique » irréductible aux choses du monde : il est le nom symbolique d’une « construction », c’est-à-dire d’une action d’élaboration intime et interne dont l’esprit est généralement capable. L’esprit déploie des structures arborescentes temporelles en lui-même, qui sont, dans leur universalité et leur généricité, les objets mathématiques de base : en premier lieu les entiers naturels de l’arithmétique, mais aussi bien, au-delà, tous les objets symboliques finitaires de diverses espèces qui ont été définis et étudiés au XXe siècle par la logique et la linguistique. Le point de vue intuitionniste-constructiviste, au lieu de voler à la mathématique son objet arithmétique pour en faire un objet logique, rapatrie dans le champ de la mathématique les objets de base de la linguistique et de la logique : ils sont les objets de la mathématique constructive (finitaire par essence, peut-on ajouter, bien qu’il y ait là un problème et un débat). Donc, le jugement « Ma commode a 5 tiroirs » est une application des mathématiques au sens où il signale que la « construction » actualisant l’objet mathématique 5 peut accompagner la réception empirique des tiroirs de ma commode. Je peux parcourir perceptivement les tiroirs de ma commode tout en les « scandant » en quelque sorte par les étapes de la construction mentale 5, représentable par un arbre temporel [2][2] Comme par exemple le suivant :.

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Reste le point de vue, sur la même affaire, de ce qui est en principe la conception des fondements des mathématiques la plus en vogue, jouissant de l’adhésion majoritaire : la conception formaliste héritière de la pensée sur le sujet de celui qui a le plus intensément voulu et compris la mathématique formelle à l’origine, David Hilbert. Pour Hilbert, les objets mathématiques sont seulement les corrélats – pour autant que nous les pensions, ce qui est facultatif – des théories mathématiques formalisées. 5, par exemple, est un habitant de l’univers d’objets fantasmé comme « répondant » à la stipulation des axiomes de la théorie des ensembles. Les objets mathématiques, ainsi que j’ai essayé de l’expliquer dans d’autres travaux [3][3] Cf. Jean-Michel Salanskis, Philosophie des mathématiques,..., n’ont pas d’autre statut qu’un statut « intentionnel » au sens de la phénoménologie (ils sont les termes non réels d’un certain type de visée) : encore le mode intentionnel en question est-il tout à fait étrange par rapport à l’usage ordinaire de l’évocation fictionnelle, dans la mesure où il passe par l’évocation collective d’une multiplicité, au lieu qu’on envisage directement une entité possédant telle ou telle propriété rêvée. Il est clair que si je reste au niveau de l’évocation collective des ensembles de la théorie des ensembles par la liste des axiomes de celle-ci, je n’ai aucune chance de saisir ce qui se passe dans une application, par exemple celle qui m’intéresse. Pour le faire, il faut que je m’intéresse au cas particulier de « 5 » parmi l’univers des ensembles. Ce que l’on peut dire est alors ce qui suit : je sais, dans le cadre de la théorie des ensembles, fabriquer une écriture symbolique particulière, celle du terme de la théorie correspondant à 5 ; j’obtiens ce dernier en réitérant suffisamment (5 fois) la procédure de formation de l’ensemble y?{y} à partir de l’ensemble y, en me donnant comme point de départ l’ensemble Ø (ensemble vide). Pour mémoire, le résultat est l’ensemble

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{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},

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,{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}}}.

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Le sens de l’application paraît alors être le suivant : la procédure de formation du terme 5 peut être associée, comme une sorte de protocole notationnel, au parcours de la multiplicité des tiroirs de ma commode (par exemple, je peux apposer sur chaque tiroir une fiche portant le terme actuellement construit, spécifiant le rang de celui-ci dans mon parcours). Il est clair que cette réponse ne fait pas autre chose que passer par la compréhension constructiviste-intuitionniste : elle réalise la « reconnaissance » constructive de l’entier intuitionniste au-dessus de la multiplicité des tiroirs à travers la synthèse elle-même constructive du terme ou de son écriture dans la théorie formelle.

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Mon sentiment, que ce bref compte rendu aura sans doute rendu patent, est que les comptes rendus logiciste et formaliste de l’application triviale sont peu satisfaisants. Le compte rendu logiciste nie en quelque sorte le comptage, il nie le bénéfice de la superposition d’un schème numérique à une multiplicité empirique, il nie la dimension d’annexion en vue d’un traitement qui s’associe au comptage. Il nie tout cela par-dessus le marché au profit d’une théorie logique qui renvoie à des décisions se situant parfaitement au-delà de notre faculté opératoire, dans un espace logique idéal sur lequel nous n’avons aucune prise (totalisation de la classe des concepts équinumériques). Le compte rendu formaliste, bien examiné, présuppose le compte rendu constructiviste et passe par lui.

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Je conclus que la vision constructiviste exprime bien l’application numérique triviale des mathématiques, et est la seule à le faire. Reste que l’application numérique triviale n’est pas la seule, ni sans doute la plus intéressante.

2 - L’application des mathématiques comme outil de maîtrise de la complexité

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Qu’est-ce qui se situe au-delà de l’application numérique triviale ? Il me semble qu’il faut évoquer ici, en premier lieu, l’application de techniques mathématiques allant au-delà de l’arithmétique à une situation complexe, sans qu’il soit question de la moindre légitimité ontologique ou phénoménologique de l’emploi de ces techniques. La mathématique transarithmétique intervient ici simplement comme outil, son rôle est strictement instrumental.

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Essayons de donner des exemples. Le champ de l’économie en fournit une première fournée. L’économie modélise les échanges marchands, monétaires, etc. dans une multiplicité sociale. Les échanges en question, « réellement », concernent des nombres décimaux : aucune marchandise ne vaut ?2 euros, aucun avoir monétaire ne peut être égal à 1000? euros. Néanmoins, les économistes étudient la dynamique des échanges, et les situations d’équilibre associables à ces dynamiques [4][4] Je mentirais en me prétendant un connaisseur du domaine..... Ils le font en se donnant la facilité du contexte du continu réel, et appliquent les notions développées dans un tel contexte pour décrire les dynamiques et leurs stabilités. Cette application ne prétend pas à une légitimité ontologique ou phénoménologique : non seulement les quantités de la valeur marchande restent dans l’ensemble des nombres décimaux de longueur finie (même une valeur de 1/3 n’a pas de sens), mais nous n’avons aucune expérience régulatrice qui situerait la valeur monétaire sur un axe continu, aucune intuition partagée ne peut être revendiquée qui projetterait a priori la valeur sur de tels axes. La raison de l’emploi du dictionnaire et des théorèmes de l’analyse réelle est que nous avons à l’origine conçu les dynamiques de façon scientifique dans de tels termes (c’est tout l’acquis de la physique depuis Newton), et le langage de l’analyse réelle est par suite adapté à la représentation du qualitatif des dynamiques. Paradoxalement, si nous restons au niveau de la combinatoire finie des échanges décimaux, nous risquons de ne rien voir, de ne pas savoir dégager les formes qui éclairent les évolutions et leurs résultats.

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Ce que nous sommes en train de toucher du doigt, c’est l’idée générale selon laquelle le langage du continu procure une vision simple et pertinente de la complexité discrète, au moins dans une série de cas où c’est une telle perception des formes organisatrices des évolutions qui est recherchée. On trouve quelque chose d’analogue, à vrai dire, à l’intérieur des mathématiques, avec l’approximation des distributions probabilistes de Bernouilli (pour un très grand nombre d’épreuves) par une distribution gaussienne. Dans ce cas, le théorème dit de la limite centrale dit mathématiquement la légitimité relative de l’approximation [5][5] Il énonce que lorsqu’une suite de variables aléatoires.... Nous avons une expérience très élémentaire de la valeur et de la pertinence de cette lecture continue de la combinatoire lorsque nous proposons la représentation graphique d’une « courbe de Gauss » pour la distribution des notes sur la population des élèves ayant passé une épreuve écrite : il n’y a même pas une loi binomiale à la clef, mais, déjà, nous jugeons que l’aspect d’ensemble de la courbe révèle des qualités transperçant, pour ainsi dire, la brutalité absurde des données. Un philosophe continental pourrait faire un commentaire hégélien : la mathématique continue joue ici le rôle d’une mathématique conceptuelle, allant au-delà de la pure juxtaposition privée de pensée des ensembles finis de données discrètes. Un épistémologue empiriste d’inspiration analytique du XXe siècle estimera, au contraire, que de telles applications des mathématiques révèlent ce qu’est essentiellement toute application des mathématiques : la surimposition à un ensemble de données d’un cadre théorique capable d’intégrer ces données, et n’étant contraint par rien d’autre que la rectitude et l’opérationnalité. Pour un tel point de vue, les contextes mathématiques mobilisés dans les sciences ne sont que des dispositifs théoriques intégrant l’information de l’expérience, propres à la bureaucratiser et à l’administrer, en l’insérant dans de bonnes structures : la région d’objets prélevée sur l’univers mathématique en vue de cette tâche n’est pas supposée correspondre à notre hypothèse sur la structure vraie du réel, ni à notre intuition/imagination du cadre de présentation dans lequel nous accédons aux phénomènes gages pour nous de ce réel.

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Il suffit, si nous revenons par exemple au cas économique, que nous sachions, à travers des procédures mathématiques adéquates, tirer les bénéfices de notre codage de la situation économique par de véritables systèmes dynamiques. On niera qu’il en aille jamais autrement, que les mathématiques, en s’appliquant, fassent jamais autre chose qu’organiser les données. La conception de l’application des mathématiques « supérieures » rejoint donc, en l’occurrence, la conception logiciste de l’application triviale : lorsque nous comptons les multiplicités, selon celle-ci, nous reflétons dans notre discours l’application purement logique de la notion d’équinuméricité à cette multiplicité, nous élaborons et explicitons, en d’autres termes, l’organisation logique de cette multiplicité comme telle et en tant que telle ; lorsque nous appliquons les outils de l’analyse à des données combinatoires, de même, nous utilisons les mathématiques juste comme un logiciel organisant les données, introduisant une structure logique, même si elle est plus complexe que celle du nombre entier.

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Il est indéniable que l’application des mathématiques possède bien cette dimension. Il est impossible de refuser à la science le pragmatisme qui lui fait exploiter la puissance organisationnelle résidant dans le discours mathématique, sur toute espèce de donnée, et sans avoir égard à la façon dont ces données se donnent, aux dimensions dont elles relèvent. De nos jours, c’est même devenu encore plus impossible, à l’heure de l’informatique et de l’informatisation : nous savons que mettre les données dans la bécane permet eo ipso de leur appliquer toute espèce de procédure récursive appartenant aux talents fonciers des machines numériques. Et lorsque nous le faisons, nous n’avons pas égard à ce que les données « sont » vraiment, aux axes qui leur appartiennent, ontologiquement ou simplement selon notre rapport originaire à elles (phénoménologiquement). Les usages de l’analyse réelle que nous évoquons semblent partager la posture de l’informatique : ils inscrivent seulement les données dans une sorte d’hyperordinateur continu, qui a besoin de l’usager compétent du langage mathématique pour fonctionner.

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Mais justement, exprimons une objection qui suggère une pause critique. Est-il vrai que l’informatisation des données ignore les axes propres de répartition ou de présentation de ces données ? Ne faut-il pas dire exactement l’inverse : qu’une grande partie de l’intelligence de la modélisation informatique de quoi que ce soit consiste à répondre à la question des « structures de données », en déterminant dans quelle sorte d’objets du type arbre, liste, etc. encoder les données ? La modélisation étant d’autant meilleure que, justement, ces structures de données respectent les axes pertinents pour la sorte de chose dont il s’agit : c’est seulement dans ce cas que les calculs de la machine sauront dégager l’intéressant et l’important à partir de l’information en cause, en opérant de manière ajustée à la fonction de chaque composante des données.

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N’est-il pas alors au moins concevable qu’il puisse y avoir, dans le cas de l’investissement dans la théorie du réel de mathématiques continues – en général, infinitaires et transcombinatoires –, une rationalité similaire à celle du choix des « structures de données » en informatique ? C’est exactement, je pense, ce que la pensée transcendantale a voulu mettre en relief.

3 - L’application des mathématiques comme langage de l’imagination de monde

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Que dit en effet Kant, dans la Critique de la raison pure, si nous ramenons son propos à son noyau ? Que la mathématique s’implique dans la physique au titre de l’espace et du temps : penser la nature, pour nous, c’est déployer une logique des objets dans la nature, objets qui sont gagés sur notre expérience sensible. Mais il appartient à celle-ci que j’y reçois des phénomènes, un « divers de la sensibilité », qui ne devient aspect d’objets que dans la mesure où je ramène ce divers à l’unité de mon regard logique sur le réel. Cette opération de synthèse et d’étiquetage du multiple par le label unique de l’objet lui-même, je ne peux l’accomplir qu’en respectant les conditions qui sont celles de la réception du divers sensible pour moi : or je ne peux recevoir de données sensibles qu’en les profilant sur le fond de l’espace et du temps. J’apporte « en amont » de toute donnée sensible ces cadres dans lesquels je la place que sont l’espace et le temps : Kant les appelle intuitions pures. Non pas intuitions singulières d’un objet, enregistrant celui-ci comme reçu, mais intuitions d’une « forme » antérieure à toute donnée, intuitions précédant toute réception de contenu, intuitions de l’espace et du temps comme cadres. Dans cette intuition pure, a priori, l’espace et le temps possèdent déjà certaines propriétés comme l’infinité, et l’unitotalité (l’espace est l’intégralité enveloppante rassemblant et unifiant toutes ses parties).

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La mathématique accomplit la théorisation, nécessairement linguistique et logique, de ces cadres pour toute phénoménalité. La théorie physique du monde passe donc par les mathématiques, en raison de ce qu’elle cherche à mettre en théorie le monde tel qu’il nous apparaît ou tel que nous le recevons, c’est-à-dire dans les cadres phénoménaux de l’espace et du temps. Comme beaucoup de commentateurs l’ont remarqué, l’intuition pure de Kant, qui pense une forme avant tout contenu, ressemble beaucoup à une imagination : ne « sort »-t-elle pas ce qu’elle propose d’elle-même, sans aucun modèle au dehors ? Si Kant l’appelle intuition, ce n’est pas pour nier ce caractère imaginatif, mais pour rappeler en même temps que nous nous rapportons aux cadres de l’espace et du temps comme à des donnés, nous les vivons comme achevés et s’imposant à nous : notre comportement rationnel est que nous tentons de remonter, de cette donnée qui n’est pas une détermination complète, à l’explicitation (mathématique) de leur structure.

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C’est sous ce dernier rapport que les développements contemporains ont en quelque sorte décalé le fait épistémologique au-delà de ce que Kant pouvait concevoir. La mise en structure mathématique de l’espace et du temps déborde la simplicité et la limitation de ce que l’on connaissait classiquement comme théorie géométrique euclidienne de la droite, du plan et de l’espace tridimensionnel. Aujourd’hui la mathématique imagine l’espace sous plusieurs visages mathématiques : par exemple, comme variété différentiable, ou comme espace topologique sur lequel est donné un faisceau d’objets algébriques, ou encore comme pur et simple espace topologique sans métrique. Mais si l’on garde la vision kantienne de la physique, on dira que celle-ci, encore et toujours, imagine le monde en le rapportant à des structures mathématiques supposées accueillir les données que nous sommes capables de recueillir : elle systématise le matériel phénoménal dans des cadres mathématiques analogues de l’espace et du temps chez Kant. C’est seulement la relation de ces cadres avec une « intuition pure » opérant en amont de toute réception sensible qui est moins aisément compréhensible. Mais cette relation n’est jamais tout à fait supprimée. L’imagination physique du réel m’engage à concevoir – au gré de la relativité générale – ce qui se passe dans le monde sur une scène affectée en tout point par une courbure, ou à concevoir – au gré de la mécanique quantique – l’amplitude de probabilité pour que quelque chose survienne comme ayant un module et un angle, comme si le déboulé vers l’actualité du virtuel se faisait avec une certaine intensité et sous un certain angle d’incidence. La sophistication des structures proposées, qui m’échappe à mesure de mon ignorance pour tout ce qui est récent et difficile, conspire à mettre en perspective dans des cadres de présentation « ce qui arrive » et que nous recevons comme tels. C’est pour désigner ce procès de mise en perspective du réel selon une forme mathématique prolongeant la phénoménologie kantienne de la forme de présentation, que j’utilise l’expression « imagination mathématique de la nature ». Elle consiste, donc, en la construction d’une image mathématique du monde empruntant à l’imagination mathématique a priori de l’espace ses ressources.

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Lorsque la science suit cette procédure ancienne et canonique, toutes les notions employées pour décrire le réel et son changement sont concernées et affectées par le cadre mathématique choisi, en telle sorte que les concepts descriptifs de la physique possèdent une teneur mathématique, leur signification relève pour une part de la conceptualité mathématique. Je souscris à la formulation proposée autrefois par Jean-Marc Lévy-Leblond : les mathématiques s’impliquent dans la physique, avant même de s’appliquer, elles font plus que s’appliquer donc [6][6] Cf. Jean-Marc Lévy-Leblond, « Des mathématiques catastrophiques »,.... Un tel point se constate déjà avec la notion de vitesse instantanée : celle-ci ne fait pas partie des expressions spontanées du langage ordinaire racontant le monde. Elle renvoie à la mise en espace et en temps du sensible, et, au-delà, elle passe par une notion mathématique n’allant pas de soi, puisqu’elle se formule en termes de dérivée ou de différentielle, concepts seulement acquis avec Newton et Leibniz, puis stabilisés à l’intérieur de la théorie contemporaine du continu. Ce qui ne l’empêche pas, ensuite de s’appliquer : muni de la notion, on peut chercher à déterminer les vitesses instantanées, et en faire des paramètres de la couverture théorique du monde.

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Je voudrais juste achever cette section en montrant comment la distinction entre l’application des mathématiques comme outil extérieur et leur application comme langage de l’imagination mathématique du monde est importante d’un point de vue épistémologique. Je le ferai en prenant l’exemple de la modélisation par attracteurs [7][7] Je veux parler ici des modèles qui présentent nos opérations... en sciences cognitives. Je distinguerai, à cet égard, trois modes de légitimation de cette modélisation.

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1) D’abord, on peut prendre sur elle un pur point de vue d’« intelligence artificielle », et retenir seulement la particularisation de la modélisation par attracteurs qu’est l’usage de réseaux connexionnistes implantés dans des machines informatiques. Dans ce cas, et c’est la remarque qui, parfois, pour les adeptes du paradigme computationnaliste, classe l’affaire, on retiendra les réseaux connexionnistes juste comme une autre manière de programmer l’activité de l’intelligence : l’opération mentale correspondante, en dernière analyse, entre dans le modèle de la machine de Turing, puisqu’on a pu la réaliser dans un programme. Que l’on soit arrivé à concevoir de telles implantations en passant par la notion continue de système dynamique appartiendrait donc juste au contexte de découverte, et n’affecterait pas le sens de la science proposée.

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2) Ensuite, on peut envisager les modèles par attracteurs comme des modèles essayant d’être au plus près de la neurophysologie sous-jacente. Dans cette seconde hypothèse, les réseaux connexionnistes essayent d’approximer les réseaux de neurones du cerveau. Smolensky utilisait, non sans une certaine prudence, cette voie d’exposition à la fin des années quatre-vingt [8][8] Cf. Paul Smolensky, « On the proper treatment of connectionism »,.... Ici, la modélisation est appelée à devenir une vraie modélisation par systèmes dynamiques continus (en intégrant, d’ailleurs, la dimension stochastique dans la modélisation), et ce au titre d’un plongement implicite de la neurophysiologie dans les méthodes et le langage de la physique. Le continu mathématique intervient désormais dans l’affaire au nom de l’autorité qu’il possède déjà dans la physique en général, c’est-à-dire comme brique de l’imagination mathématique du monde.

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3) Au gré de certaines approches, on peut avoir l’impression que la modélisation par attracteurs mobilise le continu mathématique et les systèmes dynamiques pour des raisons propres, appartenant à ce que nous comprenons au premier abord comme la pensée et son travail. C’est le cas lorsque l’on estime qu’une signification relève a priori et en général de coordonnées continues : ainsi Langacker, dans sa grammaire cognitive [9][9] Cf. Ronald Langacker, Foundations of Cognitive Grammar,... tente de représenter toute signification par un diagramme affichant une figure sur un fond, paraissant interpréter toute signification en référence à la notion géométrique de figure se détachant d’un fond continu ; ainsi Bernard Victorri part du pressentiment que toute signification se laisse moduler dans la langue à un degré arbitraire de finesse, pour justifier une théorie continue du sens et de la polysémie (en termes d’attracteurs à nouveau, à vrai dire [10][10] Cf. Bernard Victorri & Catherine Fuchs, La Polysémie,...), avant d’arriver à une implantation informatique connexionniste. Ainsi Yves-Marie Visetti, dans ses travaux publiés avec Pierre Cadiot, rapporte a priori le sens à l’expression, et celle-ci elle-même à une notion généralisée de geste, guidée par le concept merleau-pontien d’être-au-monde : il envisage en fin de compte le geste de l’expression en référence à un « continu », qui pour lui ne doit pas nécessairement être codé par le continu mathématique [11][11] Cf. Pierre Cadiot & Yves-Marie Visetti, Pour une théorie.... Aucun de ces auteurs ne parle ouvertement le langage du transcendantal, n’écrit ou ne dit « nous n’appellerions pas sens quelque chose que nous recevons, si nous ne le situions pas par rapport à un référentiel continu » ou « nous ne pouvons pas concevoir une signification autrement que localisée sur des axes sémantiques continus, bien que nous puissions envisager ces axes sans significations qui les habitent ». Néanmoins, l’atmosphère qui accompagne la construction par eux de leur modèle n’est pas réaliste, on a le sentiment qu’elle procède entièrement d’une réflexion sur ce qui, pour nous, vaut comme sens linguistique.

4 - L’application interne

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Les mathématiques ne s’appliquent pas seulement au monde, comme on paraît le supposer dans une vision empiriste. Elles s’appliquent également, et du point de vue du mathématicien, surtout, aux mathématiques elles-mêmes. Pour terminer cet article, je voudrais simplement décrire quelques aspects de cette application interne.

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Un premier aspect est l’utilisation de structures débordant l’espace d’un problème posé pour résoudre ce problème, et ce, de telle manière que l’on utilise de l’objectivité mathématique plus tardive et plus sophistiquée pour résoudre des questions formulées au niveau de l’objectivité ancienne et simple. L’exemple que l’on donne le plus souvent de cela est l’utilisation de l’analyse complexe pour démontrer des résultats en arithmétique, avec le cas phare du théorème de Dirichlet [12][12] Le théorème dit que dans l’ensemble des entiers de.... Ici, un élément important est le statut de l’arithmétique et des nombres entiers : à la suite de la controverse entre Brouwer et Hilbert, les nombres entiers sont apparus comme nantis d’un statut privilégié à l’intérieur des mathématiques. En effet, ils sont des objets que le mathématicien constructiviste connaît et reconnaît à l’instar du mathématicien formaliste. Même le mathématicien formaliste n’adhère à la théorie des ensembles, qui lui procure une infinité d’objets supplémentaires et infinitaires, que dans la conviction qu’il n’entrera jamais en contradiction, en les utilisant, avec les vérités combinatoires finies sur les entiers qu’il partage avec le mathématicien constructiviste. Donc, lorsqu’on démontre un résultat sur les nombres entiers au moyen de concepts et d’objets appartenant à l’analyse complexe, cela réactive le vieux débat fondationnel : le formaliste estime que cela prouve la supériorité et la vérité de son cadre formel ensembliste, le constructiviste estime qu’il serait souhaitable de trouver une preuve constructive, ne présupposant pas d’objets ensemblistes douteux, pour acquérir une meilleure certitude du résultat [13][13] Le théorème de Dirichlet, ainsi, se laisse démontrer....

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Un autre débat associable à ce premier aspect, non superposable avec le précédent, porte sur la question de savoir si la preuve débordant l’espace du problème nous fait bien comprendre le résultat : comme l’a souligné de façon percutante Giancarlo Rota, ce qui importe aux mathématiciens, presque plus encore que d’établir des résultats, c’est de trouver des preuves de ces résultats qui placent ceux-ci sous une lumière si aveuglante qu’ils deviennent évidents [14][14] Cf. Gian-Carlo Rota, « Mathematics and the Task of.... La preuve, dans ce cas, fait plus que prouver, elle révèle la raison d’être de la chose, elle en procure une compréhension en quelque sorte absolue. Mais un adepte de la mathématique formelle ensembliste peut prétendre qu’en regardant les objets mathématiques du point de vue d’objets mathématiques plus complexes, produits à partir des premiers en totalisant des ensembles infinis qui les enveloppent, on parvient à voir de façon plus pénétrante et plus parfaite la raison d’être des configurations simples et de bas niveau.

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Un second aspect est l’usage généralisé de la méthode du « dictionnaire » : elle consiste à étudier des objets à travers d’autres objets, que l’on construit à partir des premiers, dans l’espoir que les propriétés que l’on parvient à démontrer sur les seconds se traduisent en propriétés sur les premiers : tout se passe comme si l’on avait traduit les problèmes posés au niveau d’une catégorie d’objets dans une autre langue, celle associée à une seconde catégorie d’objets. On étudie les vessies à partir d’un travail au sein de la science des lanternes, sous réserve que l’on ait défini une procédure qui convertit les vessies en lanternes, et les configurations de vessies en configurations de lanternes. Les exemples les plus fameux de cela sont les gestes de base de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique contemporaines : la topologie algébrique commence par associer à tout espace topologique des suites de groupes (d’homotopie et d’homologie) ; la géométrie algébrique associe à tout anneau commutatif unitaire un espace topologique, son spectre. De manière tout à fait récente, on a développé des techniques d’étude des groupes qui associent à chacun de ceux-ci, à partir de leur définition par générateurs et relations, un graphe dit graphe de Cayley, puis une métrique et même une courbure faisant de ce graphe un objet géométrique [15][15] Je tire ici mon savoir d’un article épistémologique....

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Les deux tendances indiquées à l’instant – la ressaisie du combinatoire sur fond d’objets infinitaires de complexité arbitraire, et le déplacement des problèmes d’un type d’objet à un autre – opèrent plus ou moins constamment dans la mathématique issue de la révolution formaliste et ensembliste du début du XXe siècle. On peut même dire – c’est ce sur quoi, je m’en souviens, Jean Petitot aimait à insister au début des années quatre-vingt-dix – que ces tendances dessinent une sorte d’unité des mathématiques : une unité qui ne réside pas dans la méthode formelle ou dans les axiomes de la théorie des ensembles, mais dans la multiplicité des connexions par lesquelles la mathématique revient sur ses objets, ou les éclaire les uns par les autres. Une telle unité est à la fois celle d’un paysage sillonné de chemins, et celle d’un mouvement d’expansion et d’auto-commentaire.

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Il est donc important que la mathématique s’applique à elle-même en ce sens, et qu’elle le fasse à certains égards avant toute considération du monde, indépendamment de tout engagement empirique. Cette application des mathématiques, en quelque sorte, apparaît comme une application a priori.

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Mais disant cela, on n’a pas dit le fin mot de l’affaire. Il se trouve en effet que le mouvement d’application interne dont nous venons d’essayer de donner l’idée n’est pas indépendant de ce que nous avons appelé, juste avant, imagination mathématique du monde, et qui nous apparaissait comme l’essence spécifique de la physique mathématique.

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Très simplement, si je considère les objets cruciaux intervenant en relativité générale et en mécanique quantique élémentaire, les variétés différentiables et les espaces de Hilbert, je peux aussi les voir comme cas de l’application interne : la notion générale de variété différentiable fournit un cadre, à la fois pour penser la pluralité des géométries (conformément à l’intention originaire de Bernhard Riemann), et pour penser la diversité des figures centres d’intérêt de la géométrie traditionnelle (cercles, sphères, tores, etc.) ; la notion d’espace de Hilbert est en quelque sorte le décalque complexe de la notion d’espace euclidien, qui elle-même accueille et unifie les espaces géométriques classiques de dimension quelconque (sans parler du fait que ces notions encadrent aussi des espaces fonctionnels, capacité dont la modélisation quantique fait usage).

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Il semble donc que le mouvement historico-épistémologique de recompréhension et de réexposition par la mathématique de sa propre objectivité soit solidaire du mouvement d’invention mathématique d’un cadre de présentation pour les choses et leurs aventures au sein de la physique. Le constater est simplement une nouvelle manière de formuler et appréhender l’implication des mathématiques dans la physique, d’énoncer le nœud mystérieux de la physique mathématique.

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C’est sur cette ultime observation que nous concluons cet article, qui s’est limité à chercher à distinguer quelques modalités importantes de l’application des mathématiques.

Notes

[1]

Jacques Harthong (19482005), mathématicien et physicien. Un des esprits les plus originaux et féconds ayant animé l’école française d’analyse non standard. Pour une évocation de ses travaux, cf. mon ouvrage : Le Constructivisme non standard (Lille, Presses du Septentrion, 1999).

[2]

Comme par exemple le suivant :

[3]

Cf. Jean-Michel Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008.

[4]

Je mentirais en me prétendant un connaisseur du domaine. De la lecture d’un article écrit par Abraham Robinson (avec Donald J. Brown) pour appliquer l’analyse non standard à l’économie (« Non standard Exchange Economies », Selected Papers of Abraham Robinson, vol. II, Amsterdam, North Holland, 1979, p. 355369), je tire tout de même que l’on se donne une économie d’échange comme un ensemble au départ fini de n-uples nombres réels positifs associés à une relation binaire de préférence sur les n-uples réels positifs, et que l’on réfléchit de manière asymptotique sur les équilibres. Ce travail de Robinson réexpose, dans une idéalisation non standard qui survient pardessus le plongement de la situation dans le contexte de l’analyse réelle, le théorème de Debreu-Scarf, qui, à ce qu’on m’a dit, est l’expression typique du point de vue de l’économie mathématisée, de l’économétrie si l’on veut.

[5]

Il énonce que lorsqu’une suite de variables aléatoires indépendantes ayant même loi de probabilité, même espérance, même écart-type est donnée, alors les sommes partielles convergent en loi vers une distribution gaussienne (en sorte que cette dernière est une bonne approximation pour les sommes partielles calculées jusqu’à une valeur assez grande).

[6]

Cf. Jean-Marc Lévy-Leblond, « Des mathématiques catastrophiques », in Critique, n° 359, Paris, Minuit, 1977, p. 430441, spécialement p. 434. Voir également dans ce numéro p. 62 à 80.

[7]

Je veux parler ici des modèles qui présentent nos opérations mentales intelligentes comme une adaptation interne, survenant au sein de notre dynamique mentale, et emportant celle-ci de manière ultra-rapide, devant une situation donnée, par exemple perceptive, vers une région d’états internes où elle se stabilise. Un attracteur d’un système dynamique est une région de l’espace des états dans laquelle toute évolution d’un état voisin (appartenant au bassin de l’attracteur) tend à le conduire, et telle que les points de la région ont une évolution qui les maintient dans la région.

[8]

Cf. Paul Smolensky, « On the proper treatment of connectionism », in The Behavioral and Brain Sciences, 11, 1988, p. 123.

[9]

Cf. Ronald Langacker, Foundations of Cognitive Grammar, Stanford, Stanford University Press, 1987.

[10]

Cf. Bernard Victorri & Catherine Fuchs, La Polysémie, Hermès, Paris, 1996.

[11]

Cf. Pierre Cadiot & Yves-Marie Visetti, Pour une théorie des formes sémantiques, Paris, PUF, 2001 ; Y.M. Visetti & P. Cadiot, Motifs et proverbes, Paris, PUF, 2006.

[12]

Le théorème dit que dans l’ensemble des entiers de la forme a+bn – avec a et b premiers entre eux et n parcourant N –, figurent une infinité de nombres premiers.

[13]

Le théorème de Dirichlet, ainsi, se laisse démontrer dans le cadre beaucoup plus restreint de la théorie PRA (l’arithémtique récursive). Cf. Jean-Paul Delahaye, « Arguments et indices dans le débat sur le réalisme mathématique », in Marco Panza, & Jean-Michel Salanskis, L’Objectivité mathématique, Paris, Masson, 1995, p. 2347.

[14]

Cf. Gian-Carlo Rota, « Mathematics and the Task of Phenomenology », in Phenomenology and the Formal Sciences, Thomas M. Seebhom, Dagfinn Follesdal & Jitendra Nath Mohanty (eds), 1991, Dordrecht, Kluwer, p. 133138.

[15]

Je tire ici mon savoir d’un article épistémologique à paraître de Irina Starikova, dont j’ai eu la chance d’être un referee (« A Conceptual Shift : Geometric Group Theory »).

Plan de l'article

  1. 1 - L’application numérique triviale
  2. 2 - L’application des mathématiques comme outil de maîtrise de la complexité
  3. 3 - L’application des mathématiques comme langage de l’imagination de monde
  4. 4 - L’application interne