Analyse, modèles et simulations

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Analyse, modèles et simulations

Entretien avecPierre-Noël Girauddu même auteur

Pierre-Noël Giraud, professeur d’économie à Mines-ParisTech et à Paris-Dauphine. Dernier ouvrage paru : La mondialisation : émergences et fragmentations, Auxerre, Éditions des Sciences Humaines, [2008], 2de édition, juin 2012.

etPierre-Louis Lionsdu même auteur

Pierre-Louis Lions, professeur au Collège de France (équations aux dérivées partielles et applications). Médaille Fields 1994.

etFrançoise Balibardu même auteur

Françoise Balibar, professeur émérite (physique), université Paris 7-Diderot. Présidente du Conseil scientifique du Collège international de philosophie.

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[Avertissement: les tutoiements n’ont pas été supprimés. Pierre-Louis Lions tutoie Pierre-Noël Giraud (et réciproquement) ; lequel tutoie Françoise Balibar (et réciproquement). Pierre-Louis-Lions et Françoise Balibar ne se tutoient pas.]

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FRANÇOISE BALIBAR : Votre spécialité, au sein des mathématiques, ce sont les mathématiques appliquées. Est-ce la même chose que ce que Poincaré appelait « la physique mathématique », engendrée selon lui par la Mécanique céleste à la fin du XVIIIe siècle et dont il disait que « l’enfant ressemblait à sa mère d’une manière frappante » ?

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PIERRE-LOUIS LIONS : En France, on n’a pas l’habitude de ranger la mécanique dans la physique. C’est pourquoi, quand on parle d’élasticité non linéaire, de mécanique des fluides, on les pense en général comme relevant des mathématiques appliquées. Pour ma part, je suis prêt à ranger ces domaines dans la physique et donc à parler à leur propos de physique mathématique. Ce qui m’empêche d’identifier « physique mathématique » et « mathématiques appliquées », c’est que le champ d’application des mathématiques appliquées n’est pas restreint à la physique. Exemple : le traitement d’images ; ce n’est pas de la physique, c’est de l’informatique ; on cherche des modèles à base d’équations comme je les aime ; elles sont de la même nature que celles que l’on va rencontrer en finance – toujours pas de la physique – ou dans le contrôle optimal de systèmes dynamiques – toujours pas de la physique. On a une classe très générale d’équations qui contient comme cas très particulier les équations de la chaleur de la physique, mais qui va bien au-delà, car elle contient de nouveaux modèles et de nouvelles équations apparus à partir du XIXe siècle et surtout au XXe siècle, voire même dans la deuxième moitié du XXe siècle.

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F. BALIBAR : Vous dites que cette classe d’équations contient les équations de la chaleur, comme cas particulier ; contient-elle aussi les équations de l’hydrodynamique ?

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P.-L. LIONS : Non ! Parce que la caractéristique commune des équations telles que je les aime est ce qu’on appelle un « principe de comparaison ». Dans le cas de la chaleur : plus on chauffe, plus la température monte. En finance, prenons le cas d’un contrat d’assurance : mieux il vous garantit, plus la prime d’assurance est élevée. En traitement d’images (à supposer, pour simplifier, qu’il s’agisse d’images en noir et blanc), si l’on part d’une image qui est partout plus noire qu’une autre, on veut que le résultat après traitement préserve cette comparaison. Dans chacun de ces cas, vaut un principe de comparaison : on a affaire à des équations scalaires – très non linéaires, mais scalaires. Ce qui n’est pas le cas de l’hydrodynamique où l’on traite de la vitesse (qui n’est pas un scalaire) d’un fluide.

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F. BALIBAR : Vous établissez donc un classement d’après la structure mathématique des équations auxquelles on aboutit.

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P.-L. LIONS : Oui. À des propriétés mathématiques différentes correspondent des phénomènes d’une nature très différente. Certaines équations font naturellement intervenir des phénomènes de propagation : propagation d’ondes ou propagation de choc en dynamique des gaz. D’autres équations correspondent à des effets beaucoup plus « confinants », plus « régularisants » ; l’exemple type est l’équation de la chaleur. C’est une équation irréversible ; de ce fait, ses propriétés mathématiques sont très différentes de celles des équations d’ondes, qui sont réversibles. Ce qui correspond d’ailleurs physiquement à une chose très simple : il est très difficile d’identifier des sources de chaleur en observant la température, alors que, dans le cas des ondes, il suffit de les « renverser » pour remonter à la source. Mais l’irréversibilité n’est qu’un des multiples aspects de la zoologie des équations scalaires non linéaires. L’influence des conditions aux limites est un autre aspect, mettant en jeu un grand nombre de phénomènes qu’on ne connaît pas toujours très bien mathématiquement. Mais certainement, cela va bien au-delà de la vision purement physique. Ces équations ne sont pas toutes d’origine physique. Exemple…

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F. BALIBAR : Le traitement d’images.

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P.-L. LIONS : Oui, par exemple le traitement d’images. Ou encore, les « jeux à champ moyen » (Mean Field Games). Il s’agit d’une classe de modèles destinés à modéliser le comportement d’un très grand nombre de joueurs ; ce sont des équations qui mélangent les deux flèches du temps (dans un sens et dans l’autre) ; ce qui se comprend bien, car la dynamique d’une population de joueurs est comparable à ce que l’on obtient en physique pour des particules – à ceci près qu’on a affaire à des joueurs et pas à des particules : les joueurs, eux, anticipent (à chaque instant ils choisissent, et choisir c’est anticiper) ; leur comportement rationnel est donc également rétrograde dans le temps. À chaque instant, on a un mélange des deux flèches du temps : pour une partie de l’équation, on va dans le sens habituel, et pour l’autre, on va dans l’autre sens. On ne peut même pas parler de réversibilité, cela n’a plus de sens. C’est ainsi que parfois, même si ce n’est pas fréquent, la modélisation fait apparaître de nouvelles équations, qui parfois ressemblent à des équations de la physique ou ont des propriétés communes avec les équations de la physique, mais parfois aussi n’ont pas grand-chose à voir avec elles. C’est pourquoi, quand Prochiantz dit qu’il attend de nouveaux modèles mathématiques, permettant une mathématisation de la biologie, ou de certaines parties de la biologie, je crois qu’il a raison : cela ne devrait pas ressembler à grand-chose de connu en physique. Je ne cherche pas à minorer le fait que mon domaine est en grande partie lié à la physique ; mais il ne l’est pas totalement – et quand je parle de physique, je l’entends en un sens très, très large.

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F. BALIBAR : Votre domaine, c’est quand même les équations différentielles.

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P.-L. LIONS : Oui, les équations différentielles et leurs applications. Je veux dire que je travaille aussi sur des applications, et pas seulement sur des équations.

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F. BALIBAR : Oui, mais à la base, il y a quand même des équations différentielles… ; vous avez donc affaire au continu.

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P.-L. LIONS : Non, pas du tout. Le continu est seulement plus simple. Le continu est une réalisation qui n’existe pas, mais qui en même temps, en éliminant des phénomènes de granularité, rend souvent les choses plus abordables du point de vue mathématique. Mais il arrive aussi qu’on soit obligé, comme en ce moment dans le travail que nous menons avec des économistes, de gérer des situations de granularité, des situations où le continu n’est pas tout à fait acceptable.

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F. BALIBAR : Plus précisément … ?

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P.-L. LIONS : Dans ce travail, il s’agit des applications des jeux à champ moyen sur internet, sur des réseaux sociaux. Dans ce cas, il est quand même difficile de dire qu’on a un système continu. En plus, la distinction entre continu et discret n’est pas nette : on a un va-et-vient entre discret et continu qui frise le paradoxe. Pour illustrer le caractère paradoxal de ce va-et-vient, je vais vous donner un exemple tiré de la physique. On part de Newton pour n particules ; le système d’équations est un système d’équations différentielles ordinaires et partielles. Évidemment, quand il s’agit de suivre un nombre de particules égal au « nombre d’Avogadro » (grossièrement, le nombre d’atomes contenus dans un gramme de matière), on a un peu de mal, donc on passe au continu et on obtient des modèles, par exemple cinétiques de type Vlasov (équation régissant l’évolution dans le temps d’un système de particules chargées dans un plasma). Maintenant, quand on veut résoudre numériquement Vlasov, qu’est-ce qu’on fait ? On commence par « discrétiser » le continu : on revient donc aux équations de Newton dont on est parti, les équations pour n particules. Mais là où ce va-et-vient est assez paradoxal, c’est qu’on ne retombe pas sur les mêmes équations de Newton, ni sur les mêmes particules : on travaille donc sur des macro particules qui n’existent pas.

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F. BALIBAR : Des quasi-particules, des particules fictives ?

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P.-L. LIONS: Non, on ne parle même plus de particules… ce sont des objets mathématiques. Le point important c’est que ce va-et-vient entre continu et discret est quasi inévitable. 90% de mes travaux mathématiques concernent des phénomènes continus. Mais en même temps, on ne peut pas se débarrasser complètement de tout ce qui n’est pas continu : le passage au numérique nécessite un retour au discret et au fini.

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F. BALIBAR : Oui, mais les mathématiques que vous utilisez, ce sont des mathématiques du continu quand même, non ?

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P.-L. LIONS : Sauf que, comme je m’intéresse aussi à la résolution numérique, je suis obligé de sortir du continu.

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F. BALIBAR : Oui, je me rends compte qu’en tant que physicienne à l’ancienne, j’ai tendance à considérer qu’il y a d’abord les mathématiques qui permettent d’établir des équations, et ensuite, la résolution numérique des équations qui se situe « ailleurs »…

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P.-L. LIONS : Le calcul scientifique appartient à tout le monde. Tout comme les mathématiques d’ailleurs, qui appartiennent à tout le monde, mais dont on peut se servir de différentes manières, comme un mathématicien ou comme un physicien, ou comme d’autres. Donc le calcul scientifique appartient à tout le monde, tout le monde peut faire des calculs. Heureusement que les physiciens n’attendent pas les matheux pour faire des calculs ; ils les font parfois, et souvent même, de manière très intelligente et très novatrice.

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F. BALIBAR : Vous voulez dire qu’ils bricolent et que de ce bricolage sortent des idées nouvelles ?

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P.-L. LIONS : Oui, ils bricolent ; ou bien ils ont vraiment des idées nouvelles. Par exemple certaines idées nouvelles ont pour origine la recherche d’une optimisation – opération qui ne relève pas de la résolution d’équations. Ainsi – je change un peu de sujet – pensez au problème suivant : imaginez un paysage ; comment trouver le point d’altitude le plus bas ? C’est là un problème de minimalisation, que l’on rencontre fréquemment. Dans la plupart des algorithmes classiques, qui marchent souvent très bien, on démarre dans un puits, et on cherche le fond de ce puits-là. Mais si on démarre dans le mauvais puits, ce qu’on trouve ainsi n’est pas le minimum absolu, simplement un minimum local ; ailleurs, se trouve un minimum plus bas. Bon. Ce sont des physiciens qui ont trouvé comment faire : agiter le système…

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F. BALIBAR : Agiter ?

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P.-L. LIONS : Oui, agiter, c’est-à-dire rajouter, de façon aléatoire, un peu de nouveaux mouvements ; de la sorte, on se donne la possibilité de traverser, par effet tunnel quantique, la barrière de potentiel qui sépare un puits de ses voisins ; on peut ainsi explorer en dehors du puits dont on est parti. On parle alors de « recuit simulé », parce qu’en « chauffant», on produit de l’agitation, laquelle permet de sortir du puits et donc d’explorer le paysage plus largement. Puis, dans un deuxième temps, quand on commence à connaître le paysage, on « refroidit ». On a là un exemple d’idée proprement mathématique, mise au jour par des physiciens raisonnant en termes de concepts physiques (l’agitation thermique, en l’occurrence). De même à la base de la découverte des ondelettes, il y a un ingénieur et un physicien théoricien, Morlet à Elf Aquitaine et Grosmann à Marseille. Ce sont eux, un ingénieur et un physicien, qui ont les premiers imaginé le concept mathématique des ondelettes, pour faire une analyse qui ne soit ni une analyse en impulsion, ni une analyse en position, dans laquelle on mélange un peu les deux. Vous voyez, je n’établis pas de catégories professionnelles : il y a un peu partout, dans le type d’activité que nous avons les uns et les autres, dans la nature même de ce que nous faisons, des gradations plus que des frontières. C’est ma vision des choses.

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F. BALIBAR : La vision d’un analyste…

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P.-L. LIONS : Oui. Quoi qu’il arrive, je suis un analyste

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F. BALIBAR : C’est-à-dire… ? En quoi cela distingue-t-il votre activité de celles des autres mathématiciens ?

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P.-L. LIONS : Comme disait un de mes illustres prédécesseurs, en analyse nous sommes dans les inégalités.

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F. BALIBAR : ?

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P.-L. LIONS : C’est-à-dire, en simplifiant, que tout ce qui est vraiment fini – en algèbre, voire dans certains des aspects les plus algébriques de la géométrie, en théorie des nombres –relève fondamentalement de l’égalité. Il s’agit de démontrer qu’une chose est la même qu’une autre. En analyse, on est toujours beaucoup plus dans la comparaison des choses. C’est-à-dire que, fondamentalement, un analyste passe sa vie à démontrer des inégalités, tandis que d’autres mathématiciens passent leur vie à démontrer des identités ou des égalités. Voilà une distinction ; en fait, c’est un peu plus compliqué parce qu’une inégalité contient comme cas particulier une égalité ; mais un analyste sait très bien qu’il n’arrivera pas à se sortir d’affaire rien que par des égalités.

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F. BALIBAR : Quel genre d’inégalités ? Celles que l’on enseigne lorsqu’on aborde les questions de continuité : « une fonction est continue si et seulement si la valeur absolue de l’écart entre les valeurs prises par la fonction en deux points différents peut être rendue inférieure à ? »… Ce genre de chose ?

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P.-L. LIONS : Et bien oui ! Chaque fois que l’on veut gérer un phénomène continu – ne serait-ce que définir la continuité – il est nécessaire d’introduire des inégalités. Parler de phénomène continu c’est dire que plus une cause est proche d’une autre, plus la conséquence qui en découle se rapproche de la conséquence qui découle de l’autre cause. Le continu impose des inégalités parce qu’il faut mesurer la proximité. Si l’on travaille « en fini », sur des intervalles finis, on peut se permettre des égalités ; on y est même obligé dans la mesure où les inégalités, dans ce cas, définissent le phénomène de façon trop vague. En continu, au contraire, l’égalité – du genre de celle, parfaite, entre deux nombres, – est impossible.

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F. BALIBAR : Pouvez-vous préciser ce point ?

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P.-L. LIONS : Oui. Par exemple, quand on veut démontrer qu’un modèle continu est bien posé, on doit démontrer que les solutions obtenues sont uniques, et donc démontrer leur unicité. On peut considérer l’unicité comme une forme d’égalité. Mais, en réalité, toute bonne démonstration d’unicité est associée à des principes de stabilité – stabilité au sens où si l’on s’écarte un peu de la solution, on continue à en rester pas loin, au moins sur un certain temps. Donc à la base, il y a toujours, caché derrière l’égalité, quelque chose qui va plus loin qu’une simple égalité.

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D’autre part, il n’y a pas d’un côté les inégalités et de l’autre les égalités ; la frontière est poreuse. Les égalités rencontrées en physique, par exemple, sont de nature purement algébrique (je fais référence à une vision de la physique théorique subatomique, où au départ on pose l’existence de symétries et d’invariances) ; là, on est beaucoup plus proche de la théorie des groupes, de la géométrie algébrique ; et donc beaucoup plus proche de situations d’identification de structures finies ; on n’est plus dans l’analyse. Mais la théorie analytique des nombres qui fait apparaître les nombres dans l’algèbre relève, elle, de l’analyse. Les frontières entre inégalités et égalités sont toujours perméables et toujours floues.

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F. BALIBAR : Comment définiriez-vous l’analyse, quelles en seraient les ancêtres ? Descartes ?

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P.-L. LIONS : Ah non, bien avant.

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F. BALIBAR : C’est-à-dire…

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P.-L. LIONS : [Silence]. C’est compliqué à dire. D’abord, Fermat – et je suis sûr qu’on devrait remonter plus loin. Fermat certainement, à cause de l’optique.

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F. BALIBAR : L’optique, un phénomène physique donc. De plus il s’agit d’une théorie reposant sur un principe d’optimisation, le principe « de Fermat » justement, ou la recherche d’une stabilité comme vous l’indiquiez il y a un instant : pour « aller » d’un point à un autre, la lumière suit le trajet de temps minimum ; d’un minimum on ne peut s’écarter (un peu) sans y être immédiatement ramené.

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P.-L. LIONS : Oui, une situation de stabilité ; mais le point important est que Fermat voit un trajet. Or un trajet est un objet continu, relevant de l’analyse. Mais je crois que même le problème de la reine Didon, problème classique d’optimisation, est fondamentalement un problème d’analyse. La reine Didon, fuyant Tyr, arrive à ce qui sera Carthage et se trouve nez à nez avec un chef barbare, qui évidemment tombe amoureux d’elle puisqu’elle est très belle, et lui propose un bout de terrain pour s’installer, un bout de terre bordé par la mer d’un côté et tel qu’il puisse être enclos par une peau de bœuf ; ça ne fait pas beaucoup. Mais elle a oublié d’être bête, et elle découpe la peau de bœuf en fines lanières, qu’elle dispose bout à bout ; elle trace ainsi une courbe, à l’intérieur de laquelle est englobée une surface plus grande que l’aire de la peau de bœuf non découpée. La question maintenant est : quel est le tracé qui donne l’aire la plus grande, à longueur de courbe donnée ? C’est un problème isopérimétrique portant sur des courbes, c’est-à-dire des objets continus ; c’est de l’analyse. Intuitivement, les esquimaux savent très bien faire ça, ils le font même en 3D ; c’est l’igloo, reposant sur le même principe : on maximise le volume enclos dans une surface qui hors-sol doit être aussi petite que possible de manière à réduire les pertes de chaleur.

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Mais revenons aux problèmes d’optimisation. Il est intéressant de voir que ce type de problème est posé plusieurs siècles avant Jésus-Christ, en particulier par des mathématiciens grecs qui font une démonstration fausse de sa résolution, tels Zénodore, deux siècles avant Jésus-Christ, prétendant avoir résolu le problème de Didon (il faut attendre le XIXe siècle et Weierstrass pour avoir la première démonstration complète). Je pense, comme ça, au débotté, que le questionnement qui est celui de l’analyse remonte au tout début de la mathématisation du monde : quand on pratique l’agriculture, on a assez inévitablement des problèmes de contour, des problèmes qui ne sont pas trop éloignés de problèmes d’analyse.

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F. BALIBAR : Mais alors pour vous, l’analyse est un problème d’optimisation, minimum ou maximum, sur des courbes ? Rien que ça ?

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P.-L. LIONS : Non, cela fait partie de l’analyse. Moi je n’aime pas définir. J’aime bien garder les frontières les plus perméables possibles. Ce n’est pas botter en touche, c’est que je ne veux pas.

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F. BALIBAR : Si je vous demandais tout à l’heure si l’analyse ce n’est vraiment qu’un problème d’optimisation, c’est parce que la physique de la fin du XIXe siècle et du début du XXe repose largement sur un principe de minimisation : le principe de moindre action. On peut même avoir l’impression que la physique toute entière (y compris la théorie quantique et surtout, la relativité générale) découle du principe de moindre action et n’est donc qu’un vaste problème d’optimisation. Je vous pose également la question parce que l’économie me semble, elle aussi, se réduire à un problème d’optimisation – si j’en crois, du moins, Samuelson, von Neumann etc. Cette universalité des principes d’optimisation m’étonne et je dirais presque m’effraie. Cela m’effraie parce que, pour en revenir à ce que je connais, la physique, le principe de moindre action m’a toujours paru miraculeux (un miracle dans ces domaines, c’est quand même gênant) ; en réalité, je ne vois pas à quoi rattacher le principe de moindre action : il me semble ne relever de rien, s’ « autoriser de lui-même »… Mais le fond de l’affaire, c’est quoi… ?

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P.-L. LIONS : Pour moi, le fond de l’affaire, c’est qu’il a fallu beaucoup de temps pour que les gens puissent aborder des situations dynamiques.

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F. BALIBAR : Dynamiques, dépendant du temps.

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P.-L. LIONS : Oui. Il est évidemment beaucoup plus facile de regarder et d’aborder des situations statiques que des situations dynamiques – les principes de moindre énergie, de moindre action, etc. – ont plutôt trait à des situations statiques : on se trouve dans un état d’équilibre, dans un état au repos. Les choses se compliquent avec Maupertuis : on commence à vouloir traiter des situations dynamiques ; mais pour moi, cette complication est presque anecdotique. L’optimisation (maximisation ou minimisation) est un attribut d’un certain nombre de modèles, souvent statiques, mais pas que statiques.

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F. BALIBAR : Un attribut, qu’entendez-vous par là ?

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P.-L. LIONS : Un attribut mathématique. C’est-à-dire l’existence d’une structure qui fait que le modèle que l’on a introduit correspond à une optimisation.

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[*][*] [Reprise de l’entretien après une interruption]P.-L. LIONS : Comme dirait Changeux, je suis un marginal en maths, parce que, même si j’ai mes moments de doute, je suis fondamentalement un constructiviste. Je pense que les mathématiques sont une construction du cerveau.

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F. BALIBAR : Les mathématiques sont une construction du cerveau ?

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P.-L. LIONS : Beaucoup de mathématiciens sont plus platoniciens ; pour eux, on ne construit pas les maths, on les découvre. Ou pour dire les choses de façon plus prosaïque, ils pensent que si l’on découvrait d’autres formes d’intelligence dans l’univers, elles feraient les mêmes maths que nous.

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F. BALIBAR : Et vous pensez, vous, que ce ne serait pas le cas ?

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P.-L. LIONS : Non ! Je ne sais pas s’il y a d’autres formes d’intelligence ; mais il se pourrait qu’elles soient câblées de manière différente, et que donc elles puissent construire autre chose.

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F. BALIBAR : Et pourquoi dites-vous que vos collègues sont majoritairement platoniciens?

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P.-L. LIONS : Pour eux, il existe une sorte d’idée mathématique qui est indépendante du cerveau humain et de quoi que ce soit. Une sorte d’idée divine.

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F. BALIBAR : Raison pour laquelle le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques…

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P.-L. LIONS : Voilà ! Une idée quasi divine. C’est une vision presque religieuse des mathématiques ; elle n’implique pas forcément qu’il y ait un Dieu, mais en tout cas, il y a…

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F. BALIBAR : La nature – comme dirait Einstein, reprenant Spinoza (du moins, c’est ce qu’il laisse entendre ; en réalité il n’a pas beaucoup parlé de Spinoza)…

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P.-L. LIONS : Il est vrai que quand on arrive à une belle théorie mathématique ou à des bouts de théorie, les choses s’emboîtent tellement bien qu’on a vraiment l’impression que ce n’est pas nous qui avons construit tout cela. Mais je pense que c’est simplement notre cerveau qui l’a construit, notre cerveau qui est une machine absolument redoutable quand il s’agit de nous faire percevoir des structures.

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F. BALIBAR : Telle est votre réponse à la fameuse interrogation d’Eugene Wigner : d’où vient l’irraisonnable efficacité des mathématiques en physique (the unreasonable effectiveness of mathematics in physics).

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P.-L. LIONS : Oui, si vous voulez ; quand on essaie d’aborder des questions structurelles, on pense en termes de maths ; et les maths, c’est le langage de la science telle que notre cerveau la construit.

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PIERRE-NOËL GIRAUD : Donc, c’est la façon dont notre cerveau voit la nature qui est mathématique, ce n’est pas la nature, si je comprends bien. La vision constructiviste c’est : nous appliquons à la nature une grille de lecture qui, elle, est structurée par la façon dont le cerveau fonctionne, et nous ne pouvons pas voir autre chose que cela dans la nature.

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P.-L. LIONS : Exactement !

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P.-N. GIRAUD : On ne sait même pas ce qu’il y a d’autre.

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P.-L. LIONS: Et donc discipline par discipline, on cherche à tout prix à faire entrer les maths… même dans des disciplines qui ne devraient pas (ou à propos desquelles on ne devrait pas) tant insister pour y faire entrer les mathématiques. Mais ce n’est pas de notre faute : nous sommes câblés de cette façon-là. Certes il peut y avoir dans cette volonté de « mathématiser » un peu de snobisme intellectuel ; les maths, cela fait chic, sérieux. Mais je crois que c’est plus profond que cela, je crois que c’est un besoin. C’est-à-dire que dès qu’on veut aller au-delà de la description, de l’image, dès que ce que l’on recherche c’est une description plus quantitative que qualitative, eh bien ! les maths pointent leur nez ; et à ce moment-là on est piégé : on ne sait rien faire d’autre. Mais les maths ce n’est pas le seul moyen d’accéder à la connaissance.

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F. BALIBAR : D’accord, mais en même temps vous dites qu’Alain Prochiantz a raison d’attendre des mathématiques adéquates à la biologie. Alors, quelle différence faites-vous entre la biologie et ces disciplines dont vous venez de parler, où l’introduction des mathématiques n’est pas forcément justifiée – j’imagine que vous pensez à la psychologie par exemple ?

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P.-L. LIONS : Je ne dis pas qu’on n’arrivera pas un jour à profiter des mathématiques de manière intelligente et utile dans le domaine de la psychologie. Je crois que l’on peut certainement mieux comprendre les fonctionnements globaux du cerveau humain. Mais au-delà de cela, je ne sais pas. En revanche, je pense qu’effectivement des domaines d’application nouveaux, des problématiques nouvelles génèrent de nouvelles constructions mathématiques – toujours à l’intérieur de notre cerveau.

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F. BALIBAR : La biologie en est donc, selon vous, au stade où émergent de nouvelles problématiques qui vont susciter de nouvelles constructions mathématiques ?

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P.-L. LIONS : Oui, je pense que la biologie en est à un stade où elle éprouve le besoin de passer du descriptif au quantitatif ; on a accumulé des masses de données absolument considérables, et on sent bien que sans un peu d’ordre quantitatif, des lois en somme, on n’arrivera pas à bâtir quoi que ce soit. On est face à une nécessité ; il existe un besoin.

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F. BALIBAR : En tant que physicienne, j’ai tendance à penser que les lois ne sont pas elles-mêmes n’importe quelles lois ; c’est du moins le cas en physique où les lois obéissent à ce que l’on peut appeler des super-lois, ce que je préfère appeler des principes. Certes les lois de la physique (les lois de Newton, par exemple) ont été formulées sans qu’on ait réellement pris conscience de la nécessité qui les conditionne (en l’occurrence, elles doivent obéir à un certain nombre de principes, dont le principe de relativité, en sorte que, mathématiquement, elles ne peuvent être autrement que ce qu’elles sont) ; cette nécessité n’est apparue clairement que plus tard, rétrospectivement en quelque sorte, au début du XXe siècle. Certes, on pourrait penser qu’il n’y a aucune raison pour que cette structure en lois et principes vaille en dehors de la physique, n’était le fait que cette structure est coextensive à la mathématisation de la physique. De deux choses l’une : ou bien, le besoin de quantitatif et d’ordre que vous mentionnez à propos de la biologie (j’imagine que cela vaut aussi pour l’économie), sa mathématisation en somme, ne peut être satisfait autrement qu’en reproduisant la structure en lois et principes adoptée par la physique – auquel cas, la question est : quels sont ces « principes » dont doivent découler les lois de la biologie (ou de l’économie) ? Ou bien, la mathématisation de ces sciences procède (ou procédera) de façon différente et se pose alors la question de savoir ce qui rend leurs lois nécessaires, puisque aussi bien un énoncé mathématique n’a de sens que s’il est nécessaire, en sorte que mathématisation et nécessité sont quasi synonymes.

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P.-L. LIONS : Bon. D’abord, moi je me méfie des principes – même en physique. Je n’aime pas le mot. Je n’aime ni le mot « loi », ni le mot « principe ». Je préfère le mot « modèle ».

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F. BALIBAR : Moi justement, c’est le contraire !

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P.-L. LIONS : Je m’en doute ; c’est presque un acte de foi. Pour moi, je suis dans la peau de celui qui préfère le mot « modèle ». Je me suis amusé à donner à diverses interventions « grand public », et notamment dans le cadre de ma leçon inaugurale au Collège de France, le titre : « Analyse, modèles et simulations», en référence au film Sex, Lies and Videotapes (palmé à Cannes). En effet, les simulations numériques prennent de plus en plus la forme de petites vidéos ; les modèles sont des mensonges ; et moi, je suis un analyste, c’est pour cela que j’aime bien faire ce boulot-là.

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F. BALIBAR : Attendez ; « les modèles ce sont des mensonges » ; voilà une phrase qui mérite…

78

P.-L. LIONS : Oui, les modèles ce sont des mensonges ou ce sont des échecs. Prochiantz, encore lui, à la fin de sa leçon inaugurale, disait qu’au fond, l’activité de recherche est parfaitement illustrée par la phrase de Beckett : « fail better ». Le but, c’est donc de construire des modèles meilleurs, toujours meilleurs. Pour moi, les dogmes de la mécanique quantique, c’est de la blague ; la mécanique quantique est un modèle extraordinairement efficace. Je ne suis pas sûr que les modèles de physique théorique, y compris la relativité générale, ne seront pas un jour conçus comme de très bons modèles, valables à une certaine échelle. De la même façon, pour moi, ce que l’on appelle les lois de Newton, ce ne sont pas des lois, ce ne sont pas des principes ; c’est un modèle. C’est un modèle, qui 1) est faux parce que les effets relativistes ne sont pas pris en compte et 2) est inutilisable, sauf à prendre en compte toutes les forces, ce qui est impossible. C’est un excellent modèle qui en pratique est soit faux soit inutilisable. Pour moi, une loi c’est figé. Un modèle doit évoluer. À ce sujet, je recommande en général la lecture de la nouvelle d’Italo Calvino « Le modèle des modèles » (Il modello dei modelli) ; elle se trouve dans le livre intitulé Palomar. Calvino a écrit cela à Paris alors qu’il fréquentait l’Oulipo, où il discutait avec des physiciens et des mathématiciens. Donc voilà, je préfère le mot « modèle » ; mais il ne s’agit que de mots, ce n’est pas très grave ; si l’on admet que des lois ont un domaine de validité limité, je suis d’accord pour parler de lois. Mais pour moi, c’est un modèle. Quant aux principes, c’est pour moi un peu autre chose. Les principes, ce sont un certain nombre d’observations communes à un grand nombre de situations physiques : un principe de conservation de l’énergie, par exemple. (Tout à l’heure j’ai évoqué le principe de comparaison ; c’est différent ; il s’agit d’un méta-principe). Les principes, en tant qu’ils sont des observations générales, s’appliquent dans un certain nombre de situations, pas dans toutes. De ce point de vue là, je ne ferais absolument pas de distinguo entre la modélisation en physique, en biologie et en économie. Pour moi, cela participe de la même démarche scientifique, de la même activité cérébrale humaine ; simplement, l’objet d’étude est un peu différent, et les phénomènes en jeu sont probablement différents.

79

P.-N. GIRAUD : Oui, on a affaire à des modèles dynamiques différents.

80

P.-L. LIONS : Donc, à une représentation mentale qui ensuite se mathématise différemment.

81

P.-N. GIRAUD : Il n’y a aucune raison a priori pour que les mathématiques produisent toutes les structures de modèles nécessaires pour analyser le monde.

82

P.-L. LIONS : Absolument aucune.

83

P.-N. GIRAUD : [s’adressant à Françoise Balibar] Le sentiment de Prochiantz, je le partage ; je cherche s’il existe des mathématiques qui puissent m’être utiles en tant qu’économiste. C’est pour cela que nous nous sommes rencontrés tous les deux.

84

F. BALIBAR : Oui, c’est ce que tu disais il y a un an.

85

P.-N. GIRAUD : Tu m’avais posé la question : est-ce qu’il y a des principes et des lois en économie ? J’ai dit non, il n’y en a pas. Il y a des hypothèses sans quoi, on ne peut pas faire de l’économie. Par exemple, il faut faire une hypothèse portant sur la rationalité des acteurs : en gros, placés dans la même situation aujourd’hui et demain, et à supposer que leur fonction d’utilité n’ait pas changé, ils prendront la même décision dans les deux cas. Est-ce qu’on peut parler à ce propos de principe ?

86

P.-L. LIONS : Oui, c’est à peu près cela. Vous voyez ? [S’adressant à Pierre-Noël Giraud] Mais tu peux introduire un peu d’aléatoire : plus que le comportement, ce sont les règles qui, dans une situation donnée, régissent le comportement des acteurs qui restent les mêmes.

87

P.-N. GIRAUD : Restent les mêmes… ; disons que nous supposons une certaine stabilité sans laquelle nous ne pourrions construire de modèle. Partant de là, on peut ensuite introduire le fait que le domaine de stabilité du modèle est limité dans le temps ; autrement dit, tenir compte de ce que les règles ne sont stables que pendant une séquence donnée, du fait que les paramètres extérieurs (par exemple, les règles du jeu fixées par l’État) peuvent changer. Si le comportement des agents ne varie pas, on reste dans le même modèle, où simplement certains paramètres externes ont été modifiés. On obtient alors des dynamiques ou des résultats différents.

88

P.-L. LIONS : Je me trompe peut-être, mais j’ai tendance à penser que la modélisation mathématique de la biologie devrait, par rapport à ce qui est fait en physique, être moins révolutionnaire que dans le cas de l’économie. Pour moi, le défi absolument crucial s’agissant de la biologie, c’est le franchissement des échelles physiques, qui est absolument colossal (d’une dizaine de centimètres à la taille de l’atome). Toute situation dans laquelle plusieurs échelles physiques sont mélangées est difficile à traiter : il peut être compliqué de passer d’une échelle à l’autre (c’est le cas par exemple de la turbulence lors de la rentrée d’une navette dans l’atmosphère).

89

F. BALIBAR : Je ne sais pas si la biologie travaille, ou travaillera jamais un jour à l’échelle de l’atome, mais à celle des grosses molécules, certainement. La physique rencontre le même genre de problème de couplage entre les échelles lorsqu’elle explore l’étage intermédiaire, entre le niveau atomique et le niveau macroscopique (ce qu’on appelle la mésophysique, domaine des nanotechnologies). Décrire le comportement d’un électron, ou de deux, c’est possible, mais de dix électrons, on ne sait toujours pas le faire, a fortiori lorsque l’on atteint un nombre qui est une fraction du nombre d’Avogadro.

90

P.-L. LIONS : C’est l’un des enjeux de la physique microscopique actuelle – et de la physique statistique. Il s’agit là de domaines extraordinairement compliqués dans lesquels la modélisation est d’ailleurs d’une nature très différente de la modélisation en physique traditionnelle.

91

F. BALIBAR : Cela me conduit à aborder une question qui me tient à cœur, portant sur la différence entre théorie et modélisation. La physique – je ne connais pas autre chose – a connu une phase de « modélisation » (entre guillemets, car je ne suis pas sûre qu’il n’y ait pas homonymie) explicite ; c’est évidemment à Maxwell que je pense et à la myriade de modèles imaginés par lui en vue d’établir ses fameuses équations qui, comme dirait Hertz, « sont la théorie de Maxwell » ( « La théorie de Maxwell ce sont les équations de Maxwell »)…

92

P.-L. LIONS : Pour moi, Maxwell a tout inventé, je suis un admirateur fanatique de Maxwell…

93

F. BALIBAR : Je suis tout à fait d’accord ; comment ne pas admirer Maxwell ? Chez Maxwell, le mot « modèle » est employé pour désigner deux types d’objets. D’abord, Maxwell a inventé et même construit (on peut les voir au Science Museum de Londres) toute une série de maquettes, de modèles matériels mécaniques (à base de poulies, de masses, de ressorts, etc.)…

94

P.-L. LIONS : À la base de tout cela, les ressorts et les billes, il y a une idée de Cauchy cherchant à modéliser l’élasticité.

95

F. BALIBAR : Je ne le savais pas. Mais il me semble que, dans le cas de Cauchy, modéliser veut dire illustrer, faire voir comment ça marche dans le détail, un peu comme ces enfants à l’esprit curieux, futurs génies de la science, dont la légende nous dit qu’ils démontaient des montres (à ressorts) pour « voir comment ça marche » ; car, après tout, l’élasticité relève de la mécanique. Ce n’est pas tout à fait la même chose que Maxwell fabriquant, grâce à ses modèles mécaniques, sans prétention ontologique, une « intuition » du champ électromagnétique, objet nouveau de nature non mécanique. Intuition qui, de plus, n’est pas uniquement visuelle ; c’est là qu’intervient le deuxième sens du mot « modèle » chez Maxwell : les billes et les ressorts ne constituent pas une illustration du champ ; ils matérialisent une similitude entre équations ; d’un côté, les équations qui régissent le comportement des billes et des ressorts et de l’autre, celles qui gouvernent le champ électromagnétique, encore à déterminer. Toujours est-il que je ne vois pas quel peut être le lien entre ces deux usages du mot « modèle » d’une part et la signification que semble avoir ce mot lorsque vous dites, par exemple de la théorie de Newton, que c’est un modèle. Je vois bien que pour vous « modèle » est un raccourci pour « modèle mathématique »…

96

P.-L. LIONS : Attendez. Il faut que nous nous mettions d’accord sur le vocabulaire employé. Pour moi les modèles de Maxwell ce sont des modèles en mécano de la nature. Ce ne sont donc pas des modèles mathématiques. Un modèle mathématique, ce n’est pas une représentation, c’est un modèle. Quand j’utilise le mot « modèle », il y a toujours le qualificatif mathématique derrière. Par exemple, il existe des modèles informatiques qui sont d’une autre nature.

97

F. BALIBAR : Je ne suis pas d’accord : les modèles de Maxwell ne sont pas que des mécanos. Ce ne sont pas que des modèles matériels ; il les a d’ailleurs probablement construits après avoir achevé sa théorie, la théorie électromagnétique, pour illustrer le chemin intellectuel qui lui a permis d’y aboutir ; en ce sens, ce sont des modèles intellectuels. Car ce chemin, c’est celui de ce qu’il appelle l’ « analogie mathématique » (a true analogy dit-il). Dit rapidement, il a cherché des situations où existait entre grandeurs mécaniques (par exemple, entre l’énergie cinétique, la masse et la vitesse d’un objet ponctuel) le même type de relation mathématique qu’entre certaines grandeurs électriques repérées par lui (l’énergie emmagasinée dans une bobine, son coefficient de self-induction, une forme d’inertie électrique de la bobine, et l’intensité du courant, lequel est relié à la vitesse des porteurs d’électricité, quels qu’ils soient) ; c’est en faisant jouer à ces grandeurs électriques le même rôle que leurs analogues mécaniques dans les équations de la dynamique qu’il a bâti les équations qui portent son nom – autrement dit, sa théorie, où l’échafaudage qui a servi à sa construction (le modèle mécanique) n’apparaît plus. Je répète donc ma question : qu’est-ce, pour vous, qu’une théorie ; en quoi est-ce différent d’un modèle ?

98

P.-L. LIONS : Une théorie c’est le sport qu’on va essayer de pratiquer sur un modèle. Mais cela peut être aussi, en économie, le sport qui va permettre d’écrire un modèle, et le modèle fera partie d’une théorie. Donc, le modèle pour moi est un outil ; construire un modèle c’est essayer d’écrire une équation. Disons pour faire simple que pour moi, les modèles ce sont des équations. Des équations qui peuvent être discrètes, continues, avoir toutes sortes de formes bizarroïdes, etc. Finalement, quand je dis « équations », il s’agit de formules mathématiques : lorsqu’on traduit le problème de Didon en un problème de maximisation de l’aire entourée par une courbe de longueur donnée, on a finalement recours à des formules mathématiques, celle de la longueur d’une courbe et celle de l’aire en question. Finalement, un modèle c’est une (ou des) formule( s), plus que des équations.

99

F. BALIBAR : Comment fabrique-t-on un modèle ?

100

P.-L. LIONS : Pour fabriquer un modèle, il faut une idée monumentale. La résolution mathématique d’un modèle, c’est difficile ; avoir une idée monumentale, c’est très difficile. Cela prend du temps, beaucoup de temps. Exemple : Euler et la mécanique des fluides. On passe commande à Euler d’une fontaine – c’est l’époque où les rois veulent des systèmes hydrauliques et où l’hydraulique a accompli de grands progrès. Euler, donc, invente à ce propos les équations d’Euler ; parce qu’il en a besoin pour concevoir sa fontaine, il invente la mécanique des fluides en cherchant à écrire les équations qui lui permettront de bien en concevoir le design, comme on dirait aujourd’hui. La première page du texte d’Euler est absolument magnifique (c’est un de mes collègues qui me l’a indiquée, et je ne cesse d’en parler partout). Je ne me rappelle plus les termes exacts qu’emploie Euler, mais ce qu’il dit est la chose suivante : du point de vue physique, (je ne crois pas qu’il dise « mécanique »), c’est terminé. Voilà, les équations sont là… Mais, il subsiste néanmoins une légère difficulté analytique. Cela se passait en 1755. Aujourd’hui, en 2011, on n’a toujours qu’une vision mathématique très parcellaire de ce qui se passe réellement dans ces équations ; on ne les comprend toujours pas. D’énormes programmes de simulation ont été mis en œuvre pour essayer de voir ce qui se passe ; de temps en temps, on signale qu’un tout petit progrès a été fait ; mais on n’a toujours que des bouts d’informations.

101

F. BALIBAR : Les équations d’Euler n’ont pas de solution ?

102

P.-L. LIONS : On ne sait pas… On ne sait pas s’il existe des solutions régulières pour tout temps, si des irrégularités peuvent arriver en temps fini. Il semble maintenant que si l’on a des irrégularités en temps fini, on manque de critères physiques pour sélectionner la bonne solution (on a des exemples de non unicité, de solutions irrégulières qui préservent l’énergie et ne sont donc pas des solutions factices). Vous voyez, on ne sait pas. Donc bâtir un modèle mathématique, cela prend quand même un peu de temps. Évidemment on peut considérer que pour aboutir aux équations d’Euler, il a fallu attendre jusqu’en 1755 et ne pas s’étonner qu’une fois ces équations inventées, il faille encore attendre des siècles pour leur trouver une solution. Je ne cherche pas à comparer les deux difficultés ; une chose est sûre : construire un modèle mathématique, c’est certainement un exercice difficile. Difficile, parce que faire des maths, c’est aussi s’astreindre à utiliser des règles du jeu qui sont assez restrictives.

103

F. BALIBAR : Par exemple…

104

P.-L. LIONS : Tout simplement : il faut faire une démonstration. Les mathématiques pour moi, c’est un outil ; tout le monde a le droit de s’en servir, de rêver, d’inventer et de manipuler. Mais, faire des mathématiques comme un mathématicien, cela veut dire avoir des règles du jeu, des règles sociales qui exigent de faire des démonstrations rigoureuses. Et devoir faire des démonstrations rigoureuses, c’est pas un avantage… c’est quand même essayer de faire quelque chose les mains liées dans le dos. Donc, cela prend du temps…

105

F. BALIBAR : Je croyais que la démonstration n’intervenait qu’une fois le modèle déjà mathématisé.

106

P.-L. LIONS : Oui, c’est le cas s’il n’y a pas de modèle.

107

F. BALIBAR : Vous voulez dire que le modèle, lui, ne fait pas appel à des concepts mathématiques ; il est bâti en dehors des mathématiques : en économie, en physique, en biologie. On est au cœur du sujet de ce numéro spécial : les mathématiques hors d’elles-mêmes.

108

P.-L. LIONS : Ceci pose la question : qu’est-ce que la modélisation ?… Pour moi, la modélisation, c’est comme les maths ; cela appartient à tout le monde. N’importe qui a le droit de faire de la modélisation. Après, on verra si c’est un bon ou un mauvais modèle ; il faut être pragmatique. Effectivement, c’est plutôt aux spécialistes des différentes sciences qu’il revient d’élaborer leur modèle. Maintenant, je pense que pour ces spécialistes, soit ils apprennent des maths de manière à être capables d’écrire eux-mêmes leurs modèles mathématiques ; soit on évolue vers une modélisation qui sera faite par des équipes. Et même, en économie, on va arriver à un mélange des genres, avec des gens qui ont vraiment une double formation. Je pense que les mathématiciens ont quand même un petit rôle à jouer dans la modélisation, c’est-à-dire la modélisation mathématique, quand les choses deviennent un peu difficiles.

109

F. BALIBAR : Pour résoudre les difficultés techniques ?

110

P.-L. LIONS : Pas seulement pour les résoudre, aussi pour les formuler.

111

P.-N. GIRAUD : Quand dans une discipline on se trouve à un moment donné « en manque » de mathématiques, c’est qu’on en est arrivé à un point où l’on se dit : « Mes modèles actuels ne sont pas satisfaisants, ils sont vraiment trop loin de la “réalité” ». En économie, par exemple, les comportements des acteurs, ne sont pas suffisamment complexes pour rendre compte de la dynamique de la situation. Il faut alors que les économistes, ou les biologistes, puissent dire aux mathématiciens : voilà dans quelles directions on devrait tenter de complexifier les choses pour améliorer le modèle.

112

On peut d’ailleurs énumérer le type de questions, en économie, qui n’ont aujourd’hui pas trouvé de modélisations (mathématiques) satisfaisantes. Il n’en existe pas tellement, si l’on reste assez général. Il y a la modélisation de ce qu’on appelle la « rationalité limitée » des acteurs (limitée par l’information incomplète, asymétrique, et par la capacité de traitement de l’information), et donc les phénomènes de routines, d’apprentissages. Il y a la question des « externalités » : les conséquences des décisions de certains acteurs sur celles des autres acteurs ; ces conséquences ne passent pas par des évolutions de prix, mais les affectent cependant, en bien ou en mal. Il y a la modélisation des marchés, et plus généralement des modes de coordinations, très « imparfaits » pour de multiples raisons. Enfin il y a la question, très difficile mais très importante des « anticipations » et donc du mimétisme dans les comportements et des prophéties auto-réalisatrices. Cette question est fondamentale. À mon avis, c’est elle qui distingue la modélisation en sciences humaines de celle pratiquée en sciences de la matière, qu’elle soit vivante ou pas. Les modèles qui permettent de penser la gravitation ou la morphogénèse n’influencent pas ces phénomènes. La manière de penser l’économie influence les phénomènes économiques. Je suppose que c’est pour cela que Pierre-Louis dit que des mathématiques pour l’économie devraient être encore plus différentes de ce qui se fait en physique que des mathématiques pour la biologie.

113

En tant qu’économiste je formule donc des problèmes dont je soupçonne qu’une modélisation mathématique adéquate pourrait les faire avancer. Je les formule d’abord en langue naturelle, puis je les formule en les « littéralisant » en posant des entités : A, B, C, en traçant dans un schéma les rapports de causalité et d’influence entre elles ; je vais même jusqu’à tenter de les modéliser avec les mathématiques simples jusqu’ici utilisées par les économistes, ou avec les mathématiques que je connais, mais j’aboutis vite à quelque chose où tout dépend de tout… dont je ne me sors pas. Alors je me tourne vers des mathématiciens et je leur demande : comment faire ? Est-ce que vos mathématiques peuvent modéliser ce genre de système ?

114

F. BALIBAR : Justement, il m’intéresserait de savoir comment vous faites l’un et l’autre, l’un avec l’autre ; de quoi est faite votre collaboration, concrètement ?

115

P.-N. GIRAUD : Ce que nous faisons en ce moment ?

116

F. BALIBAR : Oui.

117

P.-N. GIRAUD : Pierre-Louis et Jean-Michel Lasry ont inventé une classe de modèles appelée «jeux à champ moyen». dont Pierre-Louis a parlé tout à l’heure. Ces modèles posent des questions mathématiques importantes, qui leur ont valu de passer un an sur des problèmes d’unicité, de stabilité, etc…

118

P.-L. LIONS : J’ai même fait sur ces problèmes quelques dix-huit heures de cours au Collège de France, bourrés de maths. Mais depuis le début, on se disait : « Ça doit bien servir en économie, c’est fait pour… Comment ça sert réellement en économie ? » On s’est un jour rendu compte qu’on avait cet outil et que lui, Pierre-Noël [Giraud], il avait des situations qui pouvaient relever de cet outil.

119

F. BALIBAR : Donc, vous avez deux modèles : un modèle mathématique avec certaines caractéristiques mathématiques et un modèle économique …

120

P.-L. LIONS : Vous voulez dire que son questionnement d’économiste est déjà un modèle ?

121

F. BALIBAR : Oui.

122

P.-N. GIRAUD : Si tu veux. C’est une idée de modèle, une esquisse de structure de modèle. Elle consiste à dire : j’ai des acteurs qui sont très nombreux ; je trace ici une flèche qui va de là à là pour signifier qu’ils interagissent. Comme j’ai une idée de la nature de leurs relations, dans certains cas, la flèche n’a qu’un seul sens et dans d’autres, elle en a deux etc., etc. Donc, moi, je fais un schéma qui sert à identifier les variables et leurs relations.

123

P.-L. LIONS : Tu ne le représentes même pas par écrit, tu l’as dans la tête.

124

P.-N. GIRAUD : Oui, je l’ai dans la tête mais je pourrais l’écrire.

125

P.-L. LIONS : Mais la meilleure représentation, c’est un système d’équations. C’est plus simple qu’une représentation en dessin.

126

F. BALIBAR : Comme toujours…

127

P.-N. GIRAUD : Bon ; on essaie d’exprimer ce qu’on a à dire soit en langue naturelle, soit avec un petit croquis… En économie, il y a des acteurs, des gens qui prennent des décisions, qui sont susceptibles de bénéficier de ce qui est sous leur contrôle immédiat, etc. ; et il y a des interactions qui ont des effets sur les uns et les autres. On essaie d’exprimer tout cela ; puis, on demande aux mathématiciens quel est le modèle mathématique qui peut s’en approcher. Commence alors une véritable discussion parce que d’une part, il faut voir si le modèle mathématique qu’on te propose traduit bien les relations que tu as en tête ; et d’autre part, le modèle mathématique lui-même – parce qu’il a une cohérence mathématique interne – peut te faire penser à des choses auxquelles tu n’aurais pas pensé, te faire réfléchir par exemple, aux relations que tu proposes. Ça t’oblige à préciser. Je dirais donc que la fonction première en économie d’un modèle mathématique c’est d’obliger à formaliser, à mettre un contenu, une équation, sur toutes les flèches du dessin.

128

P.-L. LIONS : Ce n’est pas toujours facile de mettre des équations sur les flèches. Justement parce que quelquefois, on n’a rien. On dit : « Eh bien, là, je n’ai pas les maths qui vont me permettre, par exemple, d’écrire cette relation ».

129

F. BALIBAR : En somme, tu décris à ton collègue mathématicien le type d’interactions existant entre tes acteurs économiques ; et lui, il regarde s’il a ça en magasin… ou pas ?

130

P.-N. GIRAUD : Oui.

131

P.-L. LIONS: En réalité, en général, ce n’est pas si facile que ça d’identifier, de savoir si on a ce qu’il faut en magasin, ou pas.

132

P.-N. GIRAUD : Et puis, c’est aussi que ce qu’on cherche n’est pas simplement un assemblage de choses qu’on aurait en magasin sur des étagères.

133

P.-L. LIONS : En réalité, on fait du sur mesure.

134

F. BALIBAR : Du sur mesure ? Vous voulez dire qu’on part de quelque chose qui est en magasin et qu’ensuite, on ajuste, on retaille ?

135

P.-L. LIONS : Oui, il faut partir des outils génériques dont on dispose et faire du sur mesure pour parfois répondre à son collègue économiste.

136

P.-N. GIRAUD : Je peux donner un exemple simple. J’ai posé à Jean-Michel [Lasry] et à Pierre-Louis [Lions] la question des fluctuations du prix du pétrole. Je leur ai dit : « Voilà, le mécanisme fondamental me semble être le suivant : quand on veut ouvrir un nouveau puits de pétrole, l’idéal est que le puits commence à produire au moment où les prix sont hauts – sachant que quand d’autres puits commenceront aussi à produire, cela va faire baisser les prix. » Le problème est donc de deviner à quel moment le cours du prix du pétrole va se retourner. On a un certain nombre d’acteurs qui tous cherchent à anticiper le moment où le prix va se retourner. C’est formellement un problème très proche de celui qui a mobilisé Jean-Michel Lasry lorsque, pour s’amuser et pour mesurer l’intérêt de ses modèles, il s’est posé la question de savoir à quelle heure il faut arriver à une réunion prévue à 8h, sachant que les participants viennent d’endroits différents et que les temps de trajet et leurs aléas sont différents. Il existe dans ce cas une « fonction objectif » qui est : « Je ne veux pas arriver avant l’heure parce que plus j’arrive tôt, plus je perds de temps ; je peux me permettre d’arriver dans les dix premières minutes de la réunion parce que je sais qu’il y aura un temps de battement de dix minutes avant que la réunion ne commence vraiment ; en revanche, je n’ai pas le droit – ce serait très mauvais pour moi – d’arriver quand elle a déjà commencé ». Le problème est : quelle heure d’arrivée dois-je viser, en fonction de l’endroit d’où je pars et des aléas affectant mon trajet ?

137

P.-L. LIONS : Ce qui est intéressant dans ce genre de modèle, c’est que nous n’avons pas l’ambition d’indiquer ce qu’il faut faire. On considère simplement que si tout le monde s’est posé la question, le résultat va, automatiquement, être d’une certaine nature. On fait juste l’hypothèse que tout le monde se pose la question dans les mêmes termes ; on a affaire à une population homogène qui a les mêmes critères de jugement, etc.

138

F. BALIBAR : Et donc ? C’est en cela que ce problème est du même type que celui qui porte sur le prix du pétrole ?

139

P.-L. LIONS : Oui, le problème se pose de la même façon. On a également le même problème quand on cherche à décrire la ola dans un stade (il y a des propagations d’ondes…). Tout ça, c’est formellement la même chose.

140

F. BALIBAR : Formellement, c’est-à-dire mathématiquement…

141

P.-L. LIONS : Mathématiquement.

142

P.-N. GIRAUD : Oui. Tu peux donc trouver un modèle dans le cas de l’heure d’arrivée à la réunion. On ne peut pas dire que cela va se passer comme ça, mais c’est cohérent. Sur ce modèle, tu peux alors étudier, par exemple, l’influence de la distance à parcourir ou celle de l’incertitude sur le temps de trajet, etc.

143

F. BALIBAR : Et j’imagine que la distance à parcourir, par exemple, a son pendant dans le cas du prix du pétrole ? Je veux dire qu’une grandeur figurant dans un modèle peut être transposée dans…

144

P.-N. GIRAUD : Oui, oui, la distance, c’est le temps nécessaire pour mettre le puits en production, par exemple.

145

P.-L. LIONS : Mais cela peut être aussi le niveau de réserves.

146

P.-N. GIRAUD : Tu vois, il y a quantité d’analogies de ce type.

147

F. BALIBAR : C’est exactement ce qu’a fait Maxwell. C’est cela qu’il appelait « a true analogy », fondée sur l’identité des formes mathématiques que prennent les relations entre grandeurs physiques relevant de domaines différents, la mécanique et l’électricité, en l’occurrence…

148

P.-N. GIRAUD : Mais alors pourquoi, au lieu de ses billes et de ses ressorts, n’a-t-il pas construit un modèle mathématique ? Nous, on ne passe pas par le stade des billes et des ressorts…

149

P.-L. LIONS : D’abord, tu n’as pas le droit de critiquer Maxwell.

150

P.-N. GIRAUD : Oh, j’ai bien compris que c’était un dieu.

151

F. BALIBAR : Il faut bien voir que Maxwell, parce que la physique de son époque n’était pas encore sortie du domaine de la mécanique (c’est lui qui l’en a fait sortir), cherchait des analogies avec la mécanique, et pas avec autre chose.

152

P.-L. LIONS : Tu n’as pas le droit de critiquer Maxwell parce qu’il travaillait sur des objets intrinsèquement complexes, dans un contexte, le XIXe siècle, où l’analyse et les manipulations des dérivées étaient encore balbutiantes. Cauchy, par exemple, se trompait dans la définition du transport continu. Maxwell, seulement trente ans après, écrit les équations tridimensionnelles de l’électromagnétisme. On peut lui pardonner de ne pas s’être instantanément lancé dans l’écriture d’équations à base de dérivées partielles.

153

F. BALIBAR : Je ne sais pas si c’est ce que vous appelez « modèle » mais en tout cas, ce fonctionnement, c’est vraiment celui de la true analogy. C’est-à-dire qu’on a affaire à des phénomènes qui sont décrits par la même équation mathématique. Par exemple, tu dois te souvenir d’avoir appris que l’énergie d’une self s’écrit (½ LI2 ), et celle d’une capacité (½ CV2). Tout ça, ce sont des formules – comme vous disiez tout à l’heure. Mais c’est sur le fait que la formule donnant l’énergie cinétique d’une masse est (½ Mv2 ), de la même forme donc que les deux autres, que Maxwell a fondé son idée d’une analogie – a true analogy, vraie parce que mathématique – entre toutes ces situations physiques. En somme, pour lui, c’était la même chose parce que les équations étaient les mêmes. C’est sur la base de ce raisonnement qu’il a construit, ou plutôt fait construire, ses billes et ses ressorts, dans un contexte (qu’il était en train de rendre obsolète) où tout devait être expliqué par la mécanique. Évidemment, aujourd’hui personne n’a l’idée que tout peut-être expliqué par des ressorts.

154

P.-N. GIRAUD : Non, encore que… Pour l’anecdote, j’ai été approché par la Cité des sciences de La Villette qui voulait faire une exposition sur l’économie – une science pas très visuelle, comme on sait. La personne qui m’a contacté voulait que ce soit non seulement visuel mais aussi mécanique ! En fait, il voulait concevoir une machine pour les adolescents qui pourraient ainsi se mettre « aux manettes de l’économie », avec des bulles qui enflent et éclatent, une espèce de bocal de pharmacie où l’on verrait monter le niveau du chômage, des circulations dans des tubes pour représenter les circuits monétaires, etc…

155

F. BALIBAR : En un sens, c’est une démarche maxwellienne.

156

P.-N. GIRAUD : Il n’en reste pas moins que pour moi la question de l’analogie c’est directement un rapport aux mathématiques. Il se trouve que le même modèle mathématique peut rendre compte de la ola dans un stade, du cours du pétrole et de l’heure à laquelle il convient d’arriver à une réunion ; mais ce qui m’intéresse, c’est le modèle mathématique, pas la comparaison directe entre les comportements des gens, etc.

157

F. BALIBAR : Tout de même, tout cela va dans le sens de l’idée que le monde est mathématique. Évidemment, vous me direz : « Non, le monde n’est pas mathématique, c’est nous qui sommes constitués de façon telle que nous ressentons le besoin d’autres types de contraintes, des contraintes mathématiques… ».

158

P.-L. LIONS : Je pense que les analogies ont permis à Maxwell d’avancer et de comprendre mais à la fin…

159

F. BALIBAR : À la fin, « la théorie de Maxwell, ce sont les équations de Maxwell » !

160

P.-L. LIONS : C’est ça et c’est tout ce qui compte ; c’est cela la vision importante. Mais je veux revenir en arrière. Il y aussi une très légère différence : vous dites « c’est la même chose parce que ce sont les mêmes équations ». En fait, ce ne sont pas les mêmes équations ; tu as été plus précis tout à l’heure quand tu as dis : « Ce sont les mêmes classes d’équations ». Et là, c’est plus compliqué.

161

F. BALIBAR : On revient à ce que vous disiez en commençant…

162

P.-L. LIONS : Oui, à propos de la finance et du traitement d’images, etc. On a donc une vision par type de modèles. Mais ce que l’on veut, quand même, en économie, c’est trouver la bonne équation. Pour cela on ajoute ou retranche des termes, on ajoute éventuellement des variables, de nouveaux opérateurs ; plus ou moins d’alea ; on essaye des combinaisons de termes jusqu’à trouver l’équation qui correspond à la situation. Je crois que j’aurais tendance à dire quand même que les équations en physique sont beaucoup plus cruciales que les équations en économie.

163

F. BALIBAR : Cruciale ? Comment cruciale ?

164

P.-L. LIONS : C’est-à-dire que, à la fin, ce qui reste en physique ce sont les équations de Maxwell, les équations de la relativité générale, etc. En physique, quand on atteint le bon modèle, on n’y touche plus, en tout cas, pendant un certain temps. En économie, non. On se livre à tout un tas d’exercices intellectuels conduisant à des équations, qui ont une nature beaucoup plus « ponctuelle » et qui permettent de vérifier des hypothèses de départ ou les phénomènes d’influence. Autrement dit, si je considère que le fonctionnement économique est bien décrit par mon modèle, je vais pouvoir, grâce au modèle, vérifier si les conséquences sont celles que l’on observe ou pas.

165

F. BALIBAR : Donc, les mathématiques, en économie, ont un rôle de vérification ?

166

P.-N. GIRAUD : Je dirais que les mathématiques ont un rôle de modélisation, au sens où on vient d’en parler très longuement. La différence avec la physique, c’est qu’il s’agit de modéliser un système – non pas plus complexe car la réalité physique est extrêmement complexe –, mais…

167

P.-L. LIONS : Je pense que c’est plus complexe. Sans plus. À un niveau un peu vague, en économie, c’est plus complexe qu’en physique.

168

P.-N. GIRAUD : Donc, comme c’est plus complexe, les modèles sont plus imparfaits…

169

P.-L. LIONS : On est encore plus loin des lois et des principes.

170

P.-N. GIRAUD : Voilà. On a une maquette. Le modèle, c’est ce qui en économie permet de faire des expériences : si je modifie tel paramètre, qu’est-ce qui se passe ?

171

P.-L. LIONS : C’est pour cela que j’ai parlé d’exercice intellectuel.

172

F. BALIBAR : Bon, on va s’en tenir là.

173

P.-L. LIONS : [d’un ton rêveur, comme pour exprimer un regret] : Oui, je reviens aux mathématiques appliquées et à leur « commencement ». On peut remonter très loin. Prenez quelqu’un comme Lagrange. Il est quoi ? Il est mathématicien, physicien, il est quoi ? Il fait des mathématiques. C’est évident. Il fait aussi des mathématiques appliquées. Fourrier, c’est évident, c’est un mathématicien appliqué mais il invente une méthode de résolution des équations utilisant les séries de Fourrier…

174

En fait il y a toujours eu des mathématiques appliquées. Une bonne question, ce n’est pas de se demander quand est-ce que les mathématiques appliquées ont commencé. Ce serait plutôt de se demander quand les mathématiques théoriques, qui ne se préoccupent d’aucune application, ont-elles commencé. En gros, au XIXe siècle. C’et à ce moment qu’on commence à se poser des questions qui sont purement de logique, de logique interne à la construction mathématique.

175

F. BALIBAR : Évidemment, en France, les mathématiques théoriques ont eu une importance énorme à cause de Bourbaki.

176

P.-L. LIONS : À cause de Bourbaki. C’était utile, Bourbaki. Même pour moi, en tant que mathématicien appliqué. C’est ce qui a permis de structurer une construction mathématique qui était à la fois poussiéreuse et fragile.

177

F. BALIBAR : Ce qui m’étonne, c’est justement que la construction ait été poussiéreuse et fragile – rien qu’en France, pour ne pas parler de l’Allemagne, il y avait eu Poincaré, quand même.

178

P.-L. LIONS : Oui, mais Poincaré n’était pas absolument un modèle de rigueur.

179

F. BALIBAR : Je sais.

180

P.-L. LIONS : Je crois qu’en effet il était grand temps de nettoyer les écuries parce qu’on avait de très belles idées mathématiques, mais on ne savait pas ce qui avait été réellement démontré, ce qui relevait un peu de la poésie, etc.

181

F. BALIBAR : Mais il y a eu aussi Hilbert.

182

P.-L. LIONS: Hibert… Hilbert pose beaucoup de questions ; il démontre peu. Je veux dire que Hilbert invente les espaces de Hilbert, point ; après, il pose un certain nombre de questions qui restent plus ou moins intéressantes. Mais c’est un énorme mathématicien, une énorme quantité de travail – mais qui n’a produit qu’une seule contribution mathématique. Hilbert avait une connaissance, pas tout à fait universelle mais presque, des mathématiques de son époque ; ce qui lui permettait de voir quelles étaient les directions importantes, qu’il jugeait importantes, pour les mathématiques. Il n’avait pas tout à fait tort. Ce n’était pas mal. Je peux dire : chapeau !

183

Il faut toujours garder en tête la réponse qu’a donnée von Neumann à une question qu’on lui avait posée. J’ai une admiration sans limites pour quelqu’un comme von Neumann. Il a touché à tout. Il est parti de la théorie de la logique et de la théorie des groupes, il a inventé la théorie des jeux ; il a inventé les bases mathématiques de la mécanique quantique ; il a posé les bases logiques de l’informatique ; il a synthétisé les bases logiques des calculateurs qui fonctionnent, encore aujourd’hui, sur ces principes-là. C’est un monument. Il faisait de l’aérodynamique – il était consultant de l’Air Force, avant la guerre. Il avait besoin de faire des calculs et on dit que c’est à cette occasion qu’il a inventé les ordinateurs, mais c’est un peu plus compliqué car Turing aussi a son mot à dire là dedans. Après vient le projet Manhattan. Et là, les ordinateurs sont absolument nécessaires pour contrôler la fission et les instabilités aérodynamiques. Bref, j’en viens à la réponse de von Neumann annoncée. À la fin des années vingt, autour de 1930, un journaliste demande à von Neumann combien de mathématiques il comprend. « 28% » répond von Neumann du tac au tac. En fait, il avait la réponse toute prête et il répondait toujours de la même façon : 28%. J’adore cette anecdote ; chaque fois que je rencontre un matheux qui me parle des mathématiques comme s’il connaissait tout, j’entends une petite voix qui me dit : « von Neumann, von Neumann ». En 1930, il a peut être pu en comprendre 28%. Quand il disait « comprendre », c’est vraiment « comprendre ». Ce n’est pas avoir une vague compréhension intuitive. On peut avoir une vague compréhension intuitive de beaucoup de choses. Mais si on est mathématicien, « comprendre », est un mot un peu différent. Je peux parler un peu des mathématiques mais je reste toujours conscient et je tiens à insister là-dessus : je ne sais rien – comme tout le monde.

Notes

[*]

[Reprise de l’entretien après une interruption]